circulação forçada em evaporador de múltiplo efeito para planta de cristalização de sais. O fluido é solução aquosa de sais a 5 \% a 80^{\circ} \mathrm{C}, densidade específica de 1.020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 , viscosidade dinâmica de 1.2 cP). Vazão requerida: 8.000 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{h}. Altura geométrica: 5 a 10 m . Tubulação de sucção: 3 m ; recalque: 15 m de comprimento.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede implicitamente o dimensionamento da circulação forçada (diâmetro da linha, perda de carga e potência da bomba). Dados fornecidos:
  • Fração mássica/percentual da solução: 5\% (apenas para justificar propriedades físicas).
  • Temperatura: 80^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade específica: 1{,}020 (interpreto como gravidade específica); portanto a densidade é \rho = 1{,}020\cdot 1000 = 1020\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 1{,}2\\ \mathrm{cP} = 1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Vazão volumétrica requerida: Q = 8\,000\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Altura geométrica (estática): 5 a 10\\ \mathrm{m} (vou calcular para os dois casos para dar faixa).
  • Tubulação de sucção: 3\\ \mathrm{m} de comprimento.
  • Tubulação de recalque (descarga): 15\\ \mathrm{m} de comprimento.
O que vamos calcular (objetivos práticos para prova / projeto rápido):
  • Converter vazão para unidades do SI e massa/fluxo mássico.
  • Escolher um diâmetro comercial razoável (comparar velocidades) e justificar.
  • Calcular número de Reynolds e fator de atrito (f) para o diâmetro escolhido.
  • Calcular perdas por atrito (sucção + recalque) e perdas menores (estimadas) e obter a Altura Manométrica Total (TDH) para os dois cenários H_{est}=5 e 10\\ \mathrm{m}.
  • Calcular potência hidráulica e potência do eixo / elétrica assumindo eficiência típica.
  • Estimar NPSH disponível em condição de sucção inundada de referência e comentar risco de cavitação e requisitos práticos.

Passo 2

Primeiros passos numéricos e conversões (explico cada fórmula).
  • Converter Q para \mathrm{m^3/s}. Q = \frac{8\,000}{3\,600}=2{,}222\ldots\\ \mathrm{m^3/s}.Vou arredondar nos cálculos a Q=2{,}222\\ \mathrm{m^3/s} (mantendo casas razoáveis).
  • Fluxo mássico \dot m: \dot m=\rho Q. \dot m = 1020\cdot 2{,}222 = 2\,266{,}7\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação curta de conceito: \dot m é a massa que passa por uma seção por segundo; importante para balanços de energia e potência (potência hidráulica = \rho g Q H).

Passo 3

Escolha do diâmetro: estratégia e justificativa didática.
  • Em projetos de circulação costuma-se escolher velocidade média no tubo entre aproximadamente 1 e 4\\ \mathrm{m/s} dependendo do serviço (para evitar sedimentação ou erosão). Para recirculação concentrada costuma-se escolher velocidades mais altas que em redes de transporte, mas para líquidos pouco viscosos e alto Q, velocidades em torno de 2 3\\ \mathrm{m/s} são razoáveis.
  • Vou avaliar alguns diâmetros arredondados comerciais e calcular velocidade média V = Q/A com A=\pi D^2/4. Cálculo para D=0{,}8\\ \mathrm{m}, 0{,}9\\ \mathrm{m}, 1{,}0\\ \mathrm{m} e 1{,}2\\ \mathrm{m} (mostra a escolha):
Cálculos (área e velocidade):
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad V=\frac{Q}{A}.
  • Para D=0{,}8\\ \mathrm{m}: A=0{,}5027\\ \mathrm{m^2}, V= \dfrac{2{,}222}{0{,}5027}=4{,}42\\ \mathrm{m/s}.
  • Para D=0{,}9\\ \mathrm{m}: A=0{,}6362\\ \mathrm{m^2}, V=3{,}49\\ \mathrm{m/s}.
  • Para D=1{,}0\\ \mathrm{m}: A=0{,}7854\\ \mathrm{m^2}, V=2{,}83\\ \mathrm{m/s}.
  • Para D=1{,}2\\ \mathrm{m}: A=1{,}1310\\ \mathrm{m^2}, V=1{,}96\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático e escolha: D=0{,}8\\ \mathrm{m} dá velocidade alta ( \sim4{,}4\\ \mathrm{m/s}) que pode causar perdas maiores e possíveis vibrações; D=1{,}2\\ \mathrm{m} dá baixa velocidade ( \sim2{,}0\\ \mathrm{m/s}) mas exige tubo muito grande. Um compromisso comum é D=1{,}0\\ \mathrm{m} (diâmetro redondo, velocidade \sim2{,}8\\ \mathrm{m/s}), que para este serviço é aceitável. Vou adotar D=1{,}0\\ \mathrm{m} para dimensionamento detalhado (posso explicar como mudar se o projetista preferir outro tamanho).

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e escolha da lei de atrito (explicação).
  • Definição: \mathrm{Re} = \dfrac{\rho V D}{\mu}. Esse número indica se o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}<2000) ou turbulento ( \mathrm{Re}\gg 4000). Para escoamentos turbulentos usa-se fórmulas empíricas para o fator de atrito f.
  • Para D=1{,}0\\ \mathrm{m} e V=2{,}83\\ \mathrm{m/s}:
    \mathrm{Re}=\frac{1020\cdot 2{,}83\cdot 1{,}0}{1{,}2\times 10^{-3}} \approx 2{,}40\times 10^{6}.
    Conclusão: escoamento claramente turbulento.
  • Fator de rugosidade: para tubulação comercial de aço comum usa-se \epsilon\approx 0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. Para cálculo explícito do fator de atrito uso a fórmula de Swamee–Jain (expliquei por ser explícita):
    f = \dfrac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Substituindo D=1{,}0\\ \mathrm{m}, \epsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}=2{,}40\times10^{6}:
    cálculo passo a passo (numérico):
    \frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot 1{,}0}=1{,}216\times10^{-5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 1{,}05\times10^{-5},
soma \approx 2{,}26\times10^{-5}. Portanto
f\approx \frac{0{,}25}{(\log_{10}(2{,}26\times10^{-5}))^{2}}\approx 0{,}0116.
Explicação curta: f é adimensional e aparece na perda de carga de Darcy–Weisbach.

Passo 5

Cálculo das perdas por atrito nas linhas e perdas menores; fórmula e números.
  • Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach): h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Velocidade e termo dinâmico: V^2/(2g)=\frac{(2{,}83)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}4085\\ \mathrm{m}.
  • Sucção: L_s=3\\ \mathrm{m}: h_{f,s} = 0{,}0116\cdot\frac{3}{1{,}0}\cdot 0{,}4085 \approx 0{,}0142\\ \mathrm{m}.
  • Recalque: L_r=15\\ \mathrm{m}: h_{f,r} = 0{,}0116\cdot\frac{15}{1{,}0}\cdot 0{,}4085 \approx 0{,}0710\\ \mathrm{m}.
Perdas menores (válvulas, curvas, entradas, etc.): como estimativa prática de projeto rápido, adoto coeficientes somados:
  • soma K sucção (entrada, válvula, cotas): K_s\approx 2.
  • soma K recalque (válvulas, curvas, conexões): K_r\approx 4.
    Perda menor: h_{m}=K\cdot \dfrac{V^2}{2g}.
  • Para sucção: h_{m,s}=2\cdot 0{,}4085 = 0{,}817\\ \mathrm{m}.
  • Para recalque: h_{m,r}=4\cdot 0{,}4085 = 1{,}634\\ \mathrm{m}.
Total de perdas hidráulicas nas tubulações:
h_{perdas}=h_{f,s}+h_{m,s}+h_{f,r}+h_{m,r}\approx 0{,}0142+0{,}817+0{,}0710+1{,}634 \approx 2{,}536\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Altura manométrica total (TDH) incluindo altura geométrica estática.
  • Fórmula: \mathrm{TDH}=H_{estático}+h_{perdas}á.
  • Para H_{estático}=10\\ \mathrm{m}á (caso pior): \mathrm{TDH}_{10}=10+2{,}536 \approx 12{,}536\\ \mathrm{m}.
  • Para H_{estático}=5\\ \mathrm{m}á (caso mínimo): \mathrm{TDH}_{5}=5+2{,}536 \approx 7{,}536\\ \mathrm{m}.
Comentário: a perda por atrito aqui é pequena comparada à cabeça estática grande; no entanto perde-se atenção nas perdas menores (aqui significativas porque V não é pequeno).

Passo 7

Potência hidráulica e potência no eixo / elétrica (explicando fórmulas e escolhendo eficiências).
  • Potência hidráulica (energia por unidade de tempo fornecida ao fluido): P_h = \rho g Q H.
  • Para H=12{,}536\\ \mathrm{m} (pior caso): P_h = 1020\cdot 9{,}81\cdot 2{,}222\cdot 12{,}536 \approx 279{,}0\\ \mathrm{kW}.
  • Para H=7{,}536\\ \mathrm{m} (caso menor): P_h \approx 1020\cdot 9{,}81\cdot 2{,}222\cdot 7{,}536 \approx 167{,}6\\ \mathrm{kW}.
Eficiências: adotarei eficiência da bomba \eta_p=0{,}75 (valor típico para bombas grandes) e eficiência do conjunto motor \eta_m=0{,}95.
  • Potência no eixo (shaft): P_{shaft} = \frac{P_h}{\eta_p}.
  • Potência elétrica aproximada: P_{elec} = \frac{P_{shaft}}{\eta_m} = \frac{P_h}{\eta_p\eta_m}.
Números:
  • Para H=12{,}536\\ \mathrm{m}: P_{shaft}\approx \frac{279{,}0}{0{,}75} \approx 372{,}0\\ \mathrm{kW},
P_{elec}\approx \frac{372{,}0}{0{,}95}\approx 391{,}6\\ \mathrm{kW}.
Recomendo motor comercial de 400\\ \mathrm{kW} (arredondamento para cima).
  • Para H=7{,}536\\ \mathrm{m}: P_{shaft}\approx \frac{167{,}6}{0{,}75}\approx 223{,}5\\ \mathrm{kW},
P_{elec}\approx \frac{223{,}5}{0{,}95}\approx 235{,}3\\ \mathrm{kW}.
Recomendo motor comercial de 250\\ \mathrm{kW} (arredondamento para cima) se a instalação operar sempre próximo a 5\\ \mathrm{m} de altura estática.

Passo 8

Estimativa de NPSH disponível (NPSHa) e verificação de cavitação (explicação).
  • Fórmula prática (caso de reservatório aberto, pressão atmosférica na superfície): \mathrm{NPSH}_\mathrm{a} = \frac{p_{atm}}{\rho g} + h_{nivel} - h_{f,s} - \frac{V^2}{2g} - \frac{p_{vap}}{\rho g},onde h_{nivel} é a altura do nível livre do reservatório acima do centro da bomba (positiva se a bomba está abaixo do nível), p_{vap} é pressão de vapor do líquido à temperatura de operação.
  • Dados para 80^\circ\mathrm{C}: pressão de vapor da água pura p_{vap}\approx 47{,}4\\ \mathrm{kPa}. Para solução salina 5\% o vapor é ligeiramente menor, mas usamos esse valor como aproximação conservadora.
  • Converter cabeças: \frac{p_{atm}}{\rho g}=\frac{101{,}325\\ \mathrm{kPa}}{1020\cdot 9{,}81}\approx 10{,}13\\ \mathrm{m},
\frac{p_{vap}}{\rho g}=\frac{47{,}4\\ \mathrm{kPa}}{1020\cdot 9{,}81}\approx 4{,}74\\ \mathrm{m}.
  • Assumindo nível do reservatório h_{nivel}=1\\ \mathrm{m} acima do centro da bomba (condição de sucção inundada típica de projeto):
    usar h_{f,s}=0{,}0142\\ \mathrm{m} e V^2/(2g)=0{,}4085\\ \mathrm{m}. \mathrm{NPSH}_\mathrm{a}=10{,}13+1-0{,}0142-0{,}4085-4{,}74\approx 5{,}97\\ \mathrm{m}.
Comentário: \mathrm{NPSH}_\mathrm{a}\approx 6\\ \mathrm{m} é confortável para muitas bombas industriais (NPSH requerida tipicamente 2 4\\ \mathrm{m}), mas isso pressupõe sucção inundada com 1\\ \mathrm{m} de sobrecarga. Se a bomba estiver acima do nível (por exemplo sucção com elevação de 5\\ \mathrm{m}), o termo h_{nivel} seria -5\\ \mathrm{m} e \mathrm{NPSH}_\mathrm{a} seria praticamente zero ou negativo — risco certo de cavitação. Portanto, é obrigatório manter a bomba em sucção inundada (ou instalar pré-bomba, redutor de vapor ou vácuo etc.).

Passo 9

Recomendações práticas finais e margens.
  • Adote D=1{,}0\\ \mathrm{m} (ou verifique disponibilidade comercial 1000 mm ou 1050 mm) para manter V\approx 2{,}8\\ \mathrm{m/s}. Se for desejável reduzir perdas menores e velocidade, escolha D=1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • TDH estimada: 7{,}54\\ \mathrm{m} (para H_{est}=5\\ \mathrm{m}) até 12{,}54\\ \mathrm{m} (para H_{est}=10\\ \mathrm{m}).
  • Potência elétrica aproximada: entre 235\\ \mathrm{kW} (caso H=5\\ \mathrm{m}) e 392\\ \mathrm{kW} (caso H=10\\ \mathrm{m}); selecionar motor comercial de 250\\ \mathrm{kW} a 400\\ \mathrm{kW} conforme o cenário operacional real e margem de segurança.
  • NPSH: mantenha bomba em sucção inundada com pelo menos 1\\ \mathrm{m} de sobrecarga; com essa condição \mathrm{NPSH}_\mathrm{a}\approx 6\\ \mathrm{m}. Evitar sucção com elevação elevada (lift) porque facilmente causa cavitação.
  • Segurança e margem: considerar adicionar 10\% 20\% de margem na potência e na TDH para cobrir perdas não previstas, incrustação futura e operação fora do ponto ideal; também validar curva da bomba com fabricante e checar NPSH_r da bomba escolhida.

Resposta

Diâmetro recomendado: D = 1{,}0\\ \mathrm{m} (velocidade V\approx 2{,}83\\ \mathrm{m/s}).
Altura manométrica total (TDH) para H_{est}=10\\ \mathrm{m}: \mathrm{TDH}\approx 12{,}54\\ \mathrm{m}.
Altura manométrica total (TDH) para H_{est}=5\\ \mathrm{m}: \mathrm{TDH}\approx 7{,}54\\ \mathrm{m}.
Potência hidráulica para \mathrm{TDH}=12{,}54\\ \mathrm{m}: P_h\approx 279{,}0\\ \mathrm{kW}.
Potência eixo (assumindo \eta_p=0{,}75) para \mathrm{TDH}=12{,}54\\ \mathrm{m}: P_{shaft}\approx 372{,}0\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica aproximada (assumindo \eta_p=0{,}75,\\ \eta_m=0{,}95) para \mathrm{TDH}=12{,}54\\ \mathrm{m}: P_{elec}\approx 391{,}6\\ \mathrm{kW} (motor recomendado: 400\\ \mathrm{kW}).
Potência elétrica aproximada para \mathrm{TDH}=7{,}54\\ \mathrm{m}: P_{elec}\approx 235{,}3\\ \mathrm{kW} (motor recomendado: 250\\ \mathrm{kW}).
NPSH disponível (com reservatório aberto e nível 1\\ \mathrm{m} acima do centro da bomba): \mathrm{NPSH}_\mathrm{a}\approx 5{,}97\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados