Uma célula bacteriana esférica de raio R consome oxigênio (A) para manter suas funções vitais. O oxigênio se difunde do meio externo para o interior da célula. A taxa de consumo de oxigênio dentro da célula é constante e de primeira ordem ( \mathrm{RA}=-\mathrm{kCA} ). Considere que o sistema atingiu o estado estacionário e a concentração na superfície da célula é mantida constante pelo meio de cultura.
Passo 1
O enunciado nos dá uma célula esférica de raio R na qual o oxigênio A se difunde do meio externo para o interior. As informações importantes são:
A taxa de consumo é de primeira ordem: \mathrm{R_A} = -k C_A. Vou denotar por k>0 a constante de reação e por C(r) a concentração de oxigênio em função da distância radial r ao centro da célula.
Está em estado estacionário (não depende do tempo).
A concentração na superfície da célula é mantida constante pelo meio: C(R)=C_s, onde C_s é o valor conhecido de superfície.
O enunciado não diz explicitamente o que pedir, então vou resolver os itens clássicos para esse problema:
(a) obter o perfil de concentração em regime estacionário, isto é C(r) para 0\le r\le R;
(b) obter a concentração no centro, C(0);
(c) calcular o fluxo de entrada na superfície e a taxa total de consumo (taxa global de incorporação de oxigênio pela célula).
Passo 2
Equacionando fisicamente o problema (bastante direto, vou explicar cada termo). Em regime estacionário o balanço local entre fluxo por difusão e consumo químico é:
\text{div}\,\mathbf{J} + \text{taxa de reação (por volume)} = 0.
A lei de Fick para fluxo radial (simbologia e significado):
D é o coeficiente de difusão do oxigênio no interior da célula (unidades comprimento^2/tempo).
O fluxo radial (positivo para fora) é \mathbf{J}(r) = -D\,\dfrac{dC}{dr}\,\mathbf{e}_r.
A taxa de reação por volume, segundo o enunciado, é -k C (sinal negativo porque consome). Assim o balanço em coordenadas esféricas (só depende de r, simetria esférica) fica:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2} J_r\right) - k C = 0,
onde J_r = -D\,\dfrac{dC}{dr}. Substituindo:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(-D r^{2}\frac{dC}{dr}\right) - k C = 0.
Como D é constante, isso simplifica para a equação diferencial ordinária
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dC}{dr}\right) - \frac{k}{D} C = 0.
Passo 3
Vou reescrever a ODE de maneira mais explícita e simples. Desenvolvendo a derivada:
\frac{d^{2}C}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{dC}{dr} - \frac{k}{D} C = 0.
Defino a constante positiva
\lambda^{2} \equiv \frac{k}{D},\qquad \lambda>0,
para compactar. A equação fica
\frac{d^{2}C}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{dC}{dr} - \lambda^{2} C = 0.
Para resolver essa ODE aproveito um truque comum: definir u(r) = r\,C(r). Vou mostrar passo a passo como essa substituição simplifica a equação.
porque e^{\lambda r} e e^{-\lambda r} se combinam em \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}.
Passo 5
Agora aplico as condições físicas para determinar as constantes. Primeiro, no centro da esfera r\to0 a concentração deve ser finita. Vamos analisar o limite de C(r) quando r\to0.
Usando a forma com exponenciais, quando r\to0,
C(r)\sim \frac{A + B}{r},
então para que C(r) não diverja é necessário A+B=0. Assim B=-A, e
Interpretação rápida (motivacional): \varphi compara reação com difusão. Se \varphi\ll1 (reação fraca / célula pequena) então C(0)\approx C_s (concentração quase uniforme). Se \varphi\gg1 (reação forte / célula grande) então C(0)\ll C_s (centro praticamente sem oxigênio).
Passo 7
Agora calculo o fluxo de oxigênio na superfície e a taxa total de consumo. O fluxo radial (positivo para fora) é J_r(r)=-D\,\dfrac{dC}{dr}. Vou calcular \dfrac{d}{dr}\!\left(\dfrac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r}\right) para usar a forma do C(r).
Derivando (mostro passo):
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r}\right) = \frac{\lambda\operatorname{cosh}(\lambda r)\cdot r - \operatorname{sinh}(\lambda r)}{r^{2}}.
O sinal negativo indica que, se \lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)>0 (que é verdade), o fluxo é negativo (isto é, efetivamente dirigido para dentro da esfera). A magnitude do fluxo entrando é -J_r(R).
A taxa total de consumo (mol/s) é o fluxo de entrada vezes a área da superfície:
Comento brevemente os limites físicos (para você levar pra prova, é comum pedirem interpretação):
Caso \varphi\ll1 (reação lenta ou R pequeno): expandindo em série \coth\varphi\approx 1/\varphi + \varphi/3+\dots, temos \varphi\coth\varphi -1 \approx \varphi^{2}/3. Logo
Q \approx 4\pi D C_s R\cdot\frac{\varphi^{2}}{3} = \frac{4\pi}{3} C_s k R^{3},
ou seja, a taxa total é simplesmente o consumo volumétrico k C_s vezes o volume \tfrac{4}{3}\pi R^3: concentração quase uniforme C\approx C_s.
Caso \varphi\gg1 (reação rápida ou R grande): \coth\varphi\to1, então \varphi\coth\varphi -1 \approx \varphi -1\approx\varphi dominante, e