Questão 2: Oxigenação Celular (Geometria Esférica)

Uma célula bacteriana esférica de raio R consome oxigênio (A) para manter suas funções vitais. O oxigênio se difunde do meio externo para o interior da célula. A taxa de consumo de oxigênio dentro da célula é constante e de primeira ordem ( \mathrm{RA}=-\mathrm{kCA} ). Considere que o sistema atingiu o estado estacionário e a concentração na superfície da célula é mantida constante pelo meio de cultura.

Passo 1

O enunciado nos dá uma célula esférica de raio R na qual o oxigênio A se difunde do meio externo para o interior. As informações importantes são:
  • A taxa de consumo é de primeira ordem: \mathrm{R_A} = -k C_A. Vou denotar por k>0 a constante de reação e por C(r) a concentração de oxigênio em função da distância radial r ao centro da célula.
  • Está em estado estacionário (não depende do tempo).
  • A concentração na superfície da célula é mantida constante pelo meio: C(R)=C_s, onde C_s é o valor conhecido de superfície.
O enunciado não diz explicitamente o que pedir, então vou resolver os itens clássicos para esse problema:
(a) obter o perfil de concentração em regime estacionário, isto é C(r) para 0\le r\le R;
(b) obter a concentração no centro, C(0);
(c) calcular o fluxo de entrada na superfície e a taxa total de consumo (taxa global de incorporação de oxigênio pela célula).

Passo 2

Equacionando fisicamente o problema (bastante direto, vou explicar cada termo). Em regime estacionário o balanço local entre fluxo por difusão e consumo químico é:
\text{div}\,\mathbf{J} + \text{taxa de reação (por volume)} = 0.çã
A lei de Fick para fluxo radial (simbologia e significado):
  • D é o coeficiente de difusão do oxigênio no interior da célula (unidades comprimento ^2/tempo).
  • O fluxo radial (positivo para fora) é \mathbf{J}(r) = -D\,\dfrac{dC}{dr}\,\mathbf{e}_r.
A taxa de reação por volume, segundo o enunciado, é -k C (sinal negativo porque consome). Assim o balanço em coordenadas esféricas (só depende de r, simetria esférica) fica:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2} J_r\right) - k C = 0,
onde J_r = -D\,\dfrac{dC}{dr}. Substituindo:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(-D r^{2}\frac{dC}{dr}\right) - k C = 0.
Como D é constante, isso simplifica para a equação diferencial ordinária
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dC}{dr}\right) - \frac{k}{D} C = 0.

Passo 3

Vou reescrever a ODE de maneira mais explícita e simples. Desenvolvendo a derivada:
\frac{d^{2}C}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{dC}{dr} - \frac{k}{D} C = 0.
Defino a constante positiva
\lambda^{2} \equiv \frac{k}{D},\qquad \lambda>0,
para compactar. A equação fica
\frac{d^{2}C}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{dC}{dr} - \lambda^{2} C = 0.
Para resolver essa ODE aproveito um truque comum: definir u(r) = r\,C(r). Vou mostrar passo a passo como essa substituição simplifica a equação.

Passo 4

Calcule as derivadas em função de u:
C = \frac{u}{r},\qquad \frac{dC}{dr} = \frac{u'}{r} - \frac{u}{r^{2}},\qquad \frac{d^{2}C}{dr^{2}} = \frac{u''}{r} - \frac{2u'}{r^{2}} + \frac{2u}{r^{3}}.
Substituindo na ODE:
\left(\frac{u''}{r} - \frac{2u'}{r^{2}} + \frac{2u}{r^{3}}\right) + \frac{2}{r}\left(\frac{u'}{r} - \frac{u}{r^{2}}\right) - \lambda^{2}\frac{u}{r} = 0.
Agrupando termos (os termos em u'/r^{2} e u/r^{3} se cancelam), resta:
\frac{u''}{r} - \lambda^{2}\frac{u}{r} = 0.
Multiplicando por r:
u'' - \lambda^{2} u = 0.
Esta é uma equação linear de coeficientes constantes cuja solução geral é
u(r) = A e^{\lambda r} + B e^{-\lambda r},
com constantes A,B. Voltando para C:
C(r) = \frac{u(r)}{r} = \frac{A e^{\lambda r} + B e^{-\lambda r}}{r}.
Também é comum escrever em termos de funções hiperbólicas:
C(r)=\frac{C_1\operatorname{sinh}(\lambda r) + C_2\operatorname{cosh}(\lambda r)}{r},
porque e^{\lambda r} e e^{-\lambda r} se combinam em \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}.

Passo 5

Agora aplico as condições físicas para determinar as constantes. Primeiro, no centro da esfera r\to0 a concentração deve ser finita. Vamos analisar o limite de C(r) quando r\to0.
Usando a forma com exponenciais, quando r\to0,
C(r)\sim \frac{A + B}{r},
então para que C(r) não diverja é necessário A+B=0. Assim B=-A, e
u(r)=A\big(e^{\lambda r}-e^{-\lambda r}\big)=2A\operatorname{sinh}(\lambda r).
Logo
C(r)=\frac{2A\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r} = \frac{C_1\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r},
com C_1=2A. Essa forma garante regularidade em r=0 porque \operatorname{sinh}(\lambda r)\sim \lambda r quando r\to0, e então C(0) é finito.
Agora uso a condição de superfície C(R)=C_s. Assim
C_s = C(R) = \frac{C_1\operatorname{sinh}(\lambda R)}{R},
portanto
C_1 = C_s\frac{R}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}.
Substituindo em C(r) obtenho o perfil final:
\boxed{\,C(r)=C_s\;\frac{R}{r}\;\frac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}\,}
onde \lambda=\sqrt{\dfrac{k}{D}}.

Passo 6

Agora achei C(r). Vou extrair C(0) e escrever em termos de uma quantidade adimensional muito usada, o módulo de Thiele \varphi:
\varphi \equiv \lambda R = R\sqrt{\frac{k}{D}}.
Calculo C(0) fazendo o limite r\to0. Como \operatorname{sinh}(\lambda r)\sim \lambda r para r\to0,
C(0)=\lim_{r\to0} C(r)= C_s \frac{R}{r}\frac{\lambda r}{\operatorname{sinh}(\lambda R)} = C_s\frac{\lambda R}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}.
Usando \varphi=\lambda R:
\boxed{\,C(0)=C_s\;\frac{\varphi}{\operatorname{sinh}(\varphi)}\,.}
Interpretação rápida (motivacional): \varphi compara reação com difusão. Se \varphi\ll1 (reação fraca / célula pequena) então C(0)\approx C_s (concentração quase uniforme). Se \varphi\gg1 (reação forte / célula grande) então C(0)\ll C_s (centro praticamente sem oxigênio).

Passo 7

Agora calculo o fluxo de oxigênio na superfície e a taxa total de consumo. O fluxo radial (positivo para fora) é J_r(r)=-D\,\dfrac{dC}{dr}. Vou calcular \dfrac{d}{dr}\!\left(\dfrac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r}\right) para usar a forma do C(r).
Derivando (mostro passo):
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r}\right) = \frac{\lambda\operatorname{cosh}(\lambda r)\cdot r - \operatorname{sinh}(\lambda r)}{r^{2}}.
Então, usando C(r)=C_s\frac{R}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}\frac{\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r},
\frac{dC}{dr} = C_s\frac{R}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}\cdot \frac{\lambda r\operatorname{cosh}(\lambda r)-\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r^{2}}.
O fluxo na superfície ( r=R) é
J_r(R) = -D\left.\frac{dC}{dr}\right|_{r=R} = -D\,C_s\frac{R}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}\cdot \frac{\lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)}{R^{2}}.
Simplificando:
J_r(R) = -\frac{D C_s}{R}\,\frac{\lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}.
O sinal negativo indica que, se \lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)>0 (que é verdade), o fluxo é negativo (isto é, efetivamente dirigido para dentro da esfera). A magnitude do fluxo entrando é -J_r(R).
A taxa total de consumo (mol/s) é o fluxo de entrada vezes a área da superfície:
Q \equiv \text{taxa total} = 4\pi R^{2}\big(-J_r(R)\big).
Substituindo J_r(R) e simplificando (uso \varphi=\lambda R):
Q = 4\pi R^{2}\cdot \frac{D C_s}{R}\, \frac{\lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)}{\operatorname{sinh}(\lambda R)} = 4\pi D C_s R\,\frac{\varphi\operatorname{cosh}\varphi - \operatorname{sinh}\varphi}{\operatorname{sinh}\varphi}.
Uma forma alternativa, mais compacta, usa \coth:
\boxed{\,Q = 4\pi D C_s R\;\big(\varphi\coth\varphi - 1\big),\quad \text{com }\varphi=R\sqrt{\dfrac{k}{D}}. \,}

Passo 8

Comento brevemente os limites físicos (para você levar pra prova, é comum pedirem interpretação):
  • Caso \varphi\ll1 (reação lenta ou R pequeno): expandindo em série \coth\varphi\approx 1/\varphi + \varphi/3+\dots, temos \varphi\coth\varphi -1 \approx \varphi^{2}/3. Logo
Q \approx 4\pi D C_s R\cdot\frac{\varphi^{2}}{3} = \frac{4\pi}{3} C_s k R^{3},
ou seja, a taxa total é simplesmente o consumo volumétrico k C_s vezes o volume \tfrac{4}{3}\pi R^3: concentração quase uniforme C\approx C_s.
  • Caso \varphi\gg1 (reação rápida ou R grande): \coth\varphi\to1, então \varphi\coth\varphi -1 \approx \varphi -1\approx\varphi dominante, e
Q \approx 4\pi D C_s R\,\varphi = 4\pi R^{2} C_s \sqrt{kD}.
Nesse limite a taxa é limitada pela difusão próxima à superfície (escala de penetração é pequena).
Essas interpretações ajudam a entender quando a célula fica “demandando oxigênio demais” e o centro tende a ficar hipóxico.

Resposta

C(r)=C_s\;\dfrac{R}{r}\;\dfrac{\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{\tfrac{k}{D}}\,r\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\sqrt{\tfrac{k}{D}}\,R\big)}
C(0)=C_s\;\dfrac{\varphi}{\operatorname{sinh}\varphi}\quad\text{com }\varphi=R\sqrt{\dfrac{k}{D}}
Q = 4\pi D C_s R\;\big(\varphi\coth\varphi - 1\big), onde \varphi=R\sqrt{\dfrac{k}{D}}.

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