1* Questăo: A velocidade do som em um dado metal é v. Uma das extremidades de um tubo longo, feito com este metal, é golpeado por um forte sopro. Um ouvinte na outra extremidade percebe dois sons, um proveniente da onda que se propagou no ar e o outro proveniente da onda que se propagou pelo metal. (a) Se v_{m} a a velocidade do som no ar, determine o intervalo de tempo \Delta t ocorrido entre a chegada dos dols sons. (b) Determine o comprimento L do tubo se \Delta t=3 s e V / V_{m}=15. (Considere V_{m}=343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )

Passo 1

O enunciado descreve o seguinte e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Um tubo de comprimento L é feito de um metal.
    • A velocidade do som no metal é V. (o enunciado inicialmente usou v, aqui chamamos V para ficar consistente com a parte (b).)
    • A velocidade do som no ar é V_{m}.
    • Um golpe numa extremidade gera duas ondas que percorrem o mesmo comprimento L: uma pelo ar (dentro do tubo) e outra pelo metal (pela parede).
    • Na parte (b) temos valores numéricos: \Delta t=3\\ \mathrm{s}, \dfrac{V}{V_{m}}=15 e V_{m}=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    (a) Determine o intervalo de tempo \Delta t entre as chegadas dos dois sons, em função de L, V e V_{m}.
    (b) Determine o comprimento L do tubo se \Delta t=3\\ \mathrm{s} e \dfrac{V}{V_{m}}=15 (com V_{m}=343\\ \mathrm{m/s}).

Passo 2

Entendendo a física básica que vamos usar (aqui explico passo a passo como pensar na prova):
  • Conceito de velocidade média de propagação de uma onda: a velocidade v de uma onda relaciona distância e tempo pela fórmula fundamental
v=\frac{\text{distância}}{\text{tempo}}.â
Nesse problema a “distância” percorrida por ambas as ondas é o comprimento do tubo L. A diferença está nas velocidades: uma onda viaja com V_{m} (ar) e a outra com V (metal).
  • Interpretando isso para cada caminho: o tempo que a onda demora para percorrer L é
\text{tempo}=\frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}.â
Portanto os tempos serão obtidos dividindo L pela velocidade correspondente.

Passo 3

Calculemos os tempos para cada caminho (aqui explico bem devagar como montar cada expressão):
  • Tempo da onda que vai pelo ar:
t_{\text{ar}}=\frac{L}{V_{m}}.
  • Tempo da onda que vai pelo metal:
t_{\text{metal}}=\frac{L}{V}.
Essas fórmulas vêm diretamente de v=\dfrac{d}{t} reorganizada para t=\dfrac{d}{v}, com d=L.

Passo 4

Agora a diferença de tempo \Delta t entre as chegadas é a diferença entre esses dois tempos. Normalmente o som no metal é mais rápido ( V>V_{m}), então a onda pelo metal chega primeiro; a diferença positiva é
\Delta t = t_{\text{ar}} - t_{\text{metal}} = \frac{L}{V_{m}} - \frac{L}{V}.
Fatorando L obtemos uma expressão mais limpa:
\Delta t = L\left(\frac{1}{V_{m}} - \frac{1}{V}\right).
Essa é a resposta simbólica pedida na parte (a). É útil porque dá o intervalo em função de L e das velocidades.

Passo 5

Para a parte (b) precisamos isolar L na expressão acima. Da equação
\Delta t = L\left(\frac{1}{V_{m}} - \frac{1}{V}\right)
isola-se L dividindo ambos os lados por \left(\dfrac{1}{V_{m}}-\dfrac{1}{V}\right):
L = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{V_{m}} - \dfrac{1}{V}}.
Podemos simplificar a fração combinando denominadores; note que
\frac{1}{V_{m}} - \frac{1}{V} = \frac{V - V_{m}}{V\,V_{m}},
então outra forma útil é
L = \Delta t \cdot \frac{V\,V_{m}}{V - V_{m}}.
Essa forma é prática para calcular com números.

Passo 6

Agora aplicamos os valores numéricos dados na parte (b). Primeiro calculamos V a partir da razão \dfrac{V}{V_{m}}=15:
V = 15\,V_{m}.
Como V_{m}=343\\ \mathrm{m/s}, temos
V = 15\times 343 = 5145\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Substituímos \Delta t=3\\ \mathrm{s}, V=5145\\ \mathrm{m/s} e V_{m}=343\\ \mathrm{m/s} na fórmula
L = \Delta t \cdot \frac{V\,V_{m}}{V - V_{m}}.
Calcule passo a passo:
V\,V_{m}=5145\times 343 = 1\,764\,735.
V - V_{m}=5145-343=4802.
\Delta t\cdot V\,V_{m}=3\times 1\,764\,735 = 5\,294\,205.
Finalmente
L=\frac{5\,294\,205}{4802}=1102{,}5\\ \mathrm{m}.
(Confere: 4802\times 1102{,}5=5\,294\,205, portanto o cálculo está correto.)

Resposta

(a) \displaystyle \Delta t = L\left(\frac{1}{V_{m}} - \frac{1}{V}\right)
(b) \displaystyle L = 1102{,}5\\ \mathrm{m}

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