1* Questăo: A velocidade do som em um dado metal é
. Uma das extremidades de um tubo longo, feito com este metal, é golpeado por um forte sopro. Um ouvinte na outra extremidade percebe dois sons, um proveniente da onda que se propagou no ar e o outro proveniente da onda que se propagou pelo metal. (a) Se
a a velocidade do som no ar, determine o intervalo de tempo
t ocorrido entre a chegada dos dols sons. (b) Determine o comprimento
do tubo se
s e
. (Considere
)
Passo 1
O enunciado descreve o seguinte e faz estas perguntas:
-
Dados fornecidos:
- Um tubo de comprimento
é feito de um metal. - A velocidade do som no metal é
. (o enunciado inicialmente usou , aqui chamamos para ficar consistente com a parte (b).) - A velocidade do som no ar é
. - Um golpe numa extremidade gera duas ondas que percorrem o mesmo comprimento
: uma pelo ar (dentro do tubo) e outra pelo metal (pela parede). - Na parte (b) temos valores numéricos:
, e .
- Um tubo de comprimento
-
Perguntas:
(a) Determine o intervalo de tempoentre as chegadas dos dois sons, em função de , e .
(b) Determine o comprimentodo tubo se e (com ).
Passo 2
Entendendo a física básica que vamos usar (aqui explico passo a passo como pensar na prova):
- Conceito de velocidade média de propagação de uma onda: a velocidade
de uma onda relaciona distância e tempo pela fórmula fundamental
Nesse problema a “distância” percorrida por ambas as ondas é o comprimento do tubo
. A diferença está nas velocidades: uma onda viaja com
(ar) e a outra com
(metal).
- Interpretando isso para cada caminho: o tempo que a onda demora para percorrer
é
Portanto os tempos serão obtidos dividindo
pela velocidade correspondente.
Passo 3
Calculemos os tempos para cada caminho (aqui explico bem devagar como montar cada expressão):
- Tempo da onda que vai pelo ar:
- Tempo da onda que vai pelo metal:
Essas fórmulas vêm diretamente de
reorganizada para
, com
.
Passo 4
Agora a diferença de tempo
entre as chegadas é a diferença entre esses dois tempos. Normalmente o som no metal é mais rápido (
), então a onda pelo metal chega primeiro; a diferença positiva é
Fatorando
obtemos uma expressão mais limpa:
Essa é a resposta simbólica pedida na parte (a). É útil porque dá o intervalo em função de
e das velocidades.
Passo 5
Para a parte (b) precisamos isolar
na expressão acima. Da equação
isola-se
dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar a fração combinando denominadores; note que
então outra forma útil é
Essa forma é prática para calcular com números.
Passo 6
Agora aplicamos os valores numéricos dados na parte (b). Primeiro calculamos
a partir da razão
:
Como
, temos
Passo 7
Substituímos
,
e
na fórmula
Calcule passo a passo:
Finalmente
(Confere:
, portanto o cálculo está correto.)
Resposta
(a)
(b)
(b)