Embora ondas estacionárias não propaguem, e, por consequência, apenas mudanças de amplitude sejam visualizadas, é possível as interpretar como uma superposição de duas ondas que interferem, e se propagam com velocidades idênticas e opostas. Sabendo que uma onda estacionária é dada por
, onde
e
são medidos em metros, e
em segundos, qual é o valor da velocidade das ondas que interferem?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a onda estacionária
com
e
em metros e
em segundos, e pergunta qual é a velocidade das ondas que se superpõem para formar essa onda estacionária. As alternativas são:
(a) , (b)
, (c)
, (d)
, (e)
.
(a)
Passo 2
Vamos entender como uma onda estacionária se relaciona com duas ondas viajantes. Há uma identidade trigonométrica útil:
Aplicando essa identidade a
obtemos
Isto mostra que uma expressão do tipo
é a superposição de duas ondas viajantes: uma com fase
(viaja no sentido positivo de
) e outra com fase
(viaja no sentido negativo de
). Portanto, para encontrar a velocidade das ondas que interferem, precisamos identificar
e
na expressão dada e usar a relação entre velocidade,
e
.
Passo 3
Na função dada podemos reconhecer as partes espacial e temporal:
Note que
(número de onda) tem unidades de radianos por metro e
(frequência angular) tem unidades de radianos por segundo.
Passo 4
A velocidade de fase
de uma onda viajante é dada por
Uma forma rápida de ver isso: a fase
é constante para uma cresta que se move, então
. Derivando em relação ao tempo dá
, ou seja
. Outra forma equivalente é usar
e
e então
. Aqui
e
já foram identificados no passo anterior.
Passo 5
Calculamos a velocidade:
Portanto a velocidade das ondas que se superpõem é
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
(e)