Embora ondas estacionárias não propaguem, e, por consequência, apenas mudanças de amplitude sejam visualizadas, é possível as interpretar como uma superposição de duas ondas que interferem, e se propagam com velocidades idênticas e opostas. Sabendo que uma onda estacionária é dada por y(x, t)= \cos (x / 2) \cos (16 t), onde y e x são medidos em metros, e t em segundos, qual é o valor da velocidade das ondas que interferem?
(a) 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(b) 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(c) 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(d) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(e) 32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos(16t),
com y e x em metros e t em segundos, e pergunta qual é a velocidade das ondas que se superpõem para formar essa onda estacionária. As alternativas são:
(a) 8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, (b) 16\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, (c) 4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, (d) 2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, (e) 32\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 2

Vamos entender como uma onda estacionária se relaciona com duas ondas viajantes. Há uma identidade trigonométrica útil:
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big[\cos(A-B)+\cos(A+B)\big].
Aplicando essa identidade a \cos(kx)\cos(\omega t) obtemos
\cos(kx)\cos(\omega t)=\tfrac{1}{2}\big[\cos(kx-\omega t)+\cos(kx+\omega t)\big].
Isto mostra que uma expressão do tipo \cos(kx)\cos(\omega t) é a superposição de duas ondas viajantes: uma com fase kx-\omega t (viaja no sentido positivo de x) e outra com fase kx+\omega t (viaja no sentido negativo de x). Portanto, para encontrar a velocidade das ondas que interferem, precisamos identificar k e \omega na expressão dada e usar a relação entre velocidade, k e \omega.

Passo 3

Na função dada podemos reconhecer as partes espacial e temporal:
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos(kx)\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac{1}{2}\\ \text{rad/m},
\cos(16t)=\cos(\omega t)\quad\Rightarrow\quad \omega=16\\ \text{rad/s}.
Note que k (número de onda) tem unidades de radianos por metro e \omega (frequência angular) tem unidades de radianos por segundo.

Passo 4

A velocidade de fase v de uma onda viajante é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Uma forma rápida de ver isso: a fase kx-\omega t é constante para uma cresta que se move, então kx-\omega t=\text{const}. Derivando em relação ao tempo dá k\,\frac{dx}{dt}-\omega=0, ou seja \frac{dx}{dt}=\omega/k. Outra forma equivalente é usar \lambda=\tfrac{2\pi}{k} e T=\tfrac{2\pi}{\omega} e então v=\lambda/T=\omega/k. Aqui k e \omega já foram identificados no passo anterior.

Passo 5

Calculamos a velocidade:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{16}{\tfrac{1}{2}}=16\cdot 2=32\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Portanto a velocidade das ondas que se superpõem é 32\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 32\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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