Questão 3. Verifique se o campo de velocidade bidimensional, incompressível, permanente descrito pela equação
e
sendo
uma constante, satisfaz a equação da continuidade. Trabalhe em coordenadas cartesianas e demostre todos os passos trabalhados.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional (permanente) com componentes
e
onde
é uma constante. A tarefa é verificar se esse campo satisfaz a equação da continuidade para um fluido incompressível, trabalhando em coordenadas cartesianas e mostrando todos os passos. Observação importante: as fórmulas acima não estão definidas em
por causa do denominador
.
Passo 2
O que significa “satisfazer a equação da continuidade” no caso de um escoamento incompressível e permanente, em coordenadas cartesianas? Vamos explicar devagar e de forma prática.
A equação da continuidade para fluido incompressível (densidade constante) em duas dimensões é
Aqui:
-
é a derivada parcial da componente em relação a , tratando como constante; -
é a derivada parcial da componente em relação a , tratando como constante.
Intuição curta: essa soma é o divergente do campo de velocidade; para incompressível, o volume não se cria nem se destrói localmente, então o divergente deve ser zero.
Para verificar a equação da continuidade, precisamos calcular explicitamente
e
e somá-las. Na prática vamos usar regras de diferenciação: produto, cadeia e o fato de que
ou
são tratados como constantes conforme a derivada parcial.
Passo 3
Calcular
.
Escrevemos
de forma conveniente para derivar:
Ao derivar em relação a
,
e
são constantes (porque derivamos parcialmente em
), então aplicamos a regra da cadeia ao fator
.
Derivada de
em relação a
:
E
porque
é constante. Portanto
Multiplicando por
(constante frente a
), obtemos
Simplificando:
Passo 4
Calcular
.
Escrevemos
como
Agora derivamos em relação a
;
é constante (pois
é tratado como constante na derivada parcial em
). Aplicamos novamente a regra da cadeia ao fator
.
Derivada de
em relação a
:
E
porque
é constante. Então
Multiplicando por
, obtemos
Os sinais negativos se cancelam, ficando
Passo 5
Somar as derivadas parciais para verificar a continuidade.
Usando os resultados dos passos anteriores:
As parcelas se cancelam:
Isso mostra que o divergente do campo é nulo sempre que as expressões estão definidas (isto é, para todo
tal que
).
Comentário final rápido: o ponto
é singular — as fórmulas originais não valem ali — então a verificação da continuidade vale para todo
. Em muitos contextos esse campo é chamado de campo rotacional associado a um vórtice ideal e é incompressível fora do polo.
Resposta
Sim.
para todo
com
.