Questão 3. Verifique se o campo de velocidade bidimensional, incompressível, permanente descrito pela equação
u=\frac{C y}{x^{2}+y^{2}}
e
v=-\frac{C x}{x^{2}+y^{2}}
sendo C uma constante, satisfaz a equação da continuidade. Trabalhe em coordenadas cartesianas e demostre todos os passos trabalhados.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional (permanente) com componentes
u=\frac{C\,y}{x^{2}+y^{2}}
e
v=-\frac{C\,x}{x^{2}+y^{2}},
onde C é uma constante. A tarefa é verificar se esse campo satisfaz a equação da continuidade para um fluido incompressível, trabalhando em coordenadas cartesianas e mostrando todos os passos. Observação importante: as fórmulas acima não estão definidas em (x,y)=(0,0) por causa do denominador x^{2}+y^{2}.

Passo 2

O que significa “satisfazer a equação da continuidade” no caso de um escoamento incompressível e permanente, em coordenadas cartesianas? Vamos explicar devagar e de forma prática.
A equação da continuidade para fluido incompressível (densidade constante) em duas dimensões é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Aqui:
  • \partial u/\partial x é a derivada parcial da componente u em relação a x, tratando y como constante;
  • \partial v/\partial y é a derivada parcial da componente v em relação a y, tratando x como constante.
Intuição curta: essa soma é o divergente do campo de velocidade; para incompressível, o volume não se cria nem se destrói localmente, então o divergente deve ser zero.
Para verificar a equação da continuidade, precisamos calcular explicitamente \partial u/\partial x e \partial v/\partial y e somá-las. Na prática vamos usar regras de diferenciação: produto, cadeia e o fato de que x ou y são tratados como constantes conforme a derivada parcial.

Passo 3

Calcular \partial u/\partial x.
Escrevemos u de forma conveniente para derivar:
u = C\,y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Ao derivar em relação a x, C e y são constantes (porque derivamos parcialmente em x), então aplicamos a regra da cadeia ao fator (x^{2}+y^{2})^{-1}.
Derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}).
E \frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2})=2x porque y é constante. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = -2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Multiplicando por C\,y (constante frente a x), obtemos
\frac{\partial u}{\partial x} = C\,y\cdot\bigl(-2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\bigr).
Simplificando:
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{2C\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Calcular \partial v/\partial y.
Escrevemos v como
v = -C\,x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Agora derivamos em relação a y; -C\,x é constante (pois x é tratado como constante na derivada parcial em y). Aplicamos novamente a regra da cadeia ao fator (x^{2}+y^{2})^{-1}.
Derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a y:
\frac{d}{dy}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{dy}(x^{2}+y^{2}).
E \frac{d}{dy}(x^{2}+y^{2})=2y porque x é constante. Então
\frac{d}{dy}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = -2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Multiplicando por -C\,x, obtemos
\frac{\partial v}{\partial y} = -C\,x\cdot\bigl(-2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\bigr).
Os sinais negativos se cancelam, ficando
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2C\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Somar as derivadas parciais para verificar a continuidade.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{2C\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{2C\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
As parcelas se cancelam:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isso mostra que o divergente do campo é nulo sempre que as expressões estão definidas (isto é, para todo (x,y) tal que x^{2}+y^{2}\neq 0).
Comentário final rápido: o ponto (0,0) é singular — as fórmulas originais não valem ali — então a verificação da continuidade vale para todo (x,y)\neq(0,0). Em muitos contextos esse campo é chamado de campo rotacional associado a um vórtice ideal e é incompressível fora do polo.

Resposta

Sim. \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0.

Exercícios relacionados