Questão 10. Partindo da equação de NavierStokes é possível encontrar a equação de Bernoulli. Que condições são necessárias para isso? Mostre todos os passos para encontrar a equação de Bernoulli partindo da equação de N-S.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da equação de Navier–Stokes, obter a equação de Bernoulli e indicar claramente quais condições são necessárias para que essa dedução seja válida. Informações dadas e elementos que vamos usar (sem ainda resolver nada):
- Equação de Navier–Stokes (forma usual, com força de corpo):
Aqui é a densidade (assumimos, por enquanto, constante), é o campo de velocidade, é a pressão, é a viscosidade dinâmica e é a aceleração devida a forças de corpo (por exemplo gravidade). - Equação da continuidade para fluido incompressível (caso necessário):
- Objetivo final: obter alguma forma da equação de Bernoulli (há várias formas: Bernoulli estacionária ao longo de uma linha de corrente; Bernoulli global para fluxo irrotacional estacionário; Bernoulli não-estacionária para fluxo potencial). Também identificar quais hipóteses (condições) são necessárias em cada passo da dedução.
Passo 2
Passo inicial: simplificar Navier–Stokes eliminando as contribuições que não cabem na hipótese de Bernoulli clássica. A hipótese fundamental para chegar a Bernoulli é desprezar os efeitos viscosos, ou seja, tomar
. Isso transforma Navier–Stokes na equação de Euler (equação do momento para fluido inviscido). Escrevo isso explicitamente: a equação de Euler é
Explicação didática: colocar
corresponde a assumir que as forças viscosas são desprezíveis comparadas às outras (regime de alto número de Reynolds ou fluido ideal). Se você estiver pensando “mas e se meu fluido for viscoso?”, aí a Bernoulli pura não vale; existem versões aproximadas ou correções com perdas, mas não é a Bernoulli clássica.
Passo 3
Divida a equação de Euler por
(assumindo densidade constante e diferente de zero). Isto é útil para obter quantidades por unidade de massa:
Comentário: aqui aparece o material derivative parcial de
no tempo mais o termo convectivo. A densidade constante é outra hipótese comum para a forma clássica de Bernoulli; se
variar, o procedimento precisa ser adaptado.
Passo 4
Usar uma identidade vetorial muito útil para manipular o termo convectivo. A identidade é
Vou justificar essa identidade rapidamente (para você enxergar de onde vem): considere a componente
desta igualdade. Pelo lado esquerdo,
. Pelo lado direito,
e usando identidades com o símbolo de Levi-Civita e reindexando chega-se ao termo
. (Não precisa decorar o passo com Levi-Civita na prova: essa identidade é padrão e vale como ferramenta para reescrever o termo convectivo em parte gradiente mais uma parte ligada à rotação do fluxo.)
Passo 5
Substitua a identidade vetorial na equação dividida por
:
Reorganizando os termos de gradiente para um lado:
Passo 6
Agora introduzimos a hipótese sobre as forças de corpo: elas devem ser conservativas, isto é, existir um potencial escalar
tal que
Exemplo prático: para gravidade vertical uniforme com eixo
apontando para cima,
e
(a sinalização depende da escolha de eixos; aqui só importa que
é gradiente de um potencial). Com essa hipótese, a equação do passo anterior fica
Passo 7
Agora vamos derivar a forma de Bernoulli mais usada na prática. Existem duas rotas: (A) caso estacionário (
); (B) caso geral não-estacionário com fluxo irrotacional. Primeiro a rota A — fluxo estacionário.
Hipótese adicional para rota A:
- fluxo estacionário:
.
Com isso, a equação reduz a
Multiplicando por
,
Passo 8
Projeção ao longo de uma linha de corrente: tome o produto escalar da equação do passo anterior com
. Observe que
(produto escalar de um vetor com um vetor perpendicular a ele). Assim obtemos
Interpretação: a derivada direcional ao longo da velocidade (ou seja, ao longo da linha de corrente) do campo escalar
é zero. Por definição, isso significa que essa combinação é constante ao longo de cada linha de corrente (ou seja, ao longo de cada trajetória instantânea de uma partícula fluida no campo estacionário). Portanto obtemos a forma clássica de Bernoulli estacionária ao longo de uma linha de corrente:
Passo 9
Agora explico a condição extra que leva a uma constante espacial (não apenas ao longo da linha de corrente). Se o fluxo for irrotacional, isto é, se a vorticidade
for nula em toda a região de interesse, então o termo de cruzamento desaparece já antes da projeção: com
temos
e do passo 6, ainda para fluxo estacionário, resulta
Isto implica que o argumento do gradiente é uma constante escalar em toda a região conectada onde
:
Resumo prático: sem vorticidade você ganha uma Bernoulli “global” (válida em qualquer ponto), com vorticidade você só tem Bernoulli “ao longo da linha de corrente”.
Passo 10
Rota B — caso não-estacionário, fluxo potencial (irrotacional). Aqui queremos a forma de Bernoulli que permite variação temporal, muito usada em teoria de ondas e fluxo potencial. Hipóteses:
- inviscid (
); - densidade constante;
- forças de corpo conservativas (
); - fluxo irrotacional:
para todo na região de interesse.
Se o fluxo é irrotacional, existe um potencial de velocidade escalar
tal que
Voltemos à equação do passo 5 (antes de assumir estacionaridade):
Como
o termo de cruzamento some e ficamos com
Substituindo
e observando que
(derivada espacial do potencial temporal), obtemos
Integrando espacialmente (ou seja, porque o gradiente é zero, o interior é uma função apenas do tempo), resulta a forma usual da Bernoulli não-estacionária para fluxo potencial:
onde
é uma função arbitrária do tempo (pode ser absorvida em redefinitions de
ou fixada por condição de referência). Em particular, se você quiser uma forma sem
explicito, para cada linha material específica e com manipulações adicionais, obtém-se expressões equivalentes; o ponto importante é que, no caso não-estacionário, só conseguimos uma constante espacial até uma função de tempo.
Passo 11
Resumo das condições necessárias (recapitulação didática com pequenas dicas de prova):
- Para obter a forma clássica de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente:
- Fluido inviscid (
); - Densidade constante (ou compressível tratada separadamente);
- Forças de corpo conservativas (
); - Fluxo estacionário (
).
- Fluido inviscid (
- Para que a constante seja válida em toda a região (Bernoulli global):
- Além das condições acima, o fluxo deve ser irrotacional (
) na região considerada.
- Além das condições acima, o fluxo deve ser irrotacional (
- Para a forma não-estacionária de Bernoulli (fluxo potencial variável no tempo):
- Invicídeo, densidade constante, forças conservativas, e fluxo irrotacional para que exista
; então obtemos a forma com e uma função de tempo .
- Invicídeo, densidade constante, forças conservativas, e fluxo irrotacional para que exista
Dica prática para prova: comece deixando claro quais hipóteses você faz (viscosidade nula, incompressibilidade, estacionaridade ou irrotacionalidade). Use a identidade vetorial para tratar
. Projetar ao longo de
dá Bernoulli ao longo da linha de corrente; exigir
dá Bernoulli global.
Resposta
Bernoulli estacionário ao longo de uma linha de corrente (condições:
,
const, forças conservativas
, fluxo estacionário):
Bernoulli estacionário global (condições adicionais: acima + fluxo irrotacional
):
Bernoulli não-estacionário para fluxo potencial (condições:
,
const,
,
):
onde
é função arbitrária do tempo.