Questão 04.

Considere o escoamento de um fluido a 5^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{Cp}=200 \mathrm{~J} /(\mathrm{Kg} . \mathrm{K}), \mathrm{k}=2 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})\right. e \mathrm{v}=5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) em um oleoduto de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A seção horizontal de 70 m de comprimento do oleoduto está mantida a temperatura constante de 50^{\circ} \mathrm{C}. Desconsiderando a resistència térmica do material do tubo, determine:
(a) a temperatura do óleo no final do oleoduto (1,5)
(b) a taxa de transferència de calor para o fluido ( \mathbf{1 , 0} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) A temperatura do óleo no final do oleoduto, isto é, a temperatura média em massa do fluido após percorrer 70\\ \mathrm{m} de tubulação cuja parede está mantida em 50^\circ\mathrm{C}.
  • (b) A taxa de transferência de calor para o fluido (potência térmica absorvida pelo óleo) ao longo desses 70\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
\rho = 500\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad C_p = 200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad k = 2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
\nu = 5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad D = 0{,}10\\ \mathrm{m},\qquad V = 0{,}5\\ \mathrm{m/s},
\text{comprimento } L = 70\\ \mathrm{m},\qquad T_{\text{entrada}} = 5^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\text{parede}} = 50^\circ\mathrm{C}.
A questão diz para desprezar a resistência térmica do material do tubo (ou seja, considerar apenas convecção do fluido interno com a parede a 50^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Modelo físico e equação básica (explicação didática): ao longo do tubo a temperatura média do fluido T_m(x) varia porque a parede a T_w fornece calor por convecção. Para uma pequena fatia de tubo de comprimento \mathrm{d}x fazemos balanço de energia (é o jeito mais direto): a variação de energia do fluxo é igual ao fluxo de calor convectivo da parede para o fluido nessa fatia. Isso leva à equação diferencial
\frac{\mathrm{d}T_m}{\mathrm{d}x}=\frac{h P}{\dot{m} C_p}\,\bigl(T_w-T_m\bigr),
onde explico cada termo:
  • T_m(x) = temperatura média em massa do fluido no local x (o que queremos).
  • T_w = temperatura da parede (aqui 50^\circ\mathrm{C}).
  • h = coeficiente convectivo médio entre parede e fluido (unidade \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
  • P = perímetro interno do tubo ( P=\pi D).
  • \dot{m} = vazão mássica do fluido ( \dot{m}=\rho V A, com A área da seção).
  • C_p = capacidade térmica do fluido.
    Essa equação é linear e sua solução (com condição T_m(0)=T_{in}) é
T_m(x)=T_w+\bigl(T_{in}-T_w\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{h P}{\dot{m} C_p}\,x\Bigr).
Portanto, precisamos estimar h. Para isso usamos correlações de troca térmica interna (Nusselt).

Passo 3

Cálculos geométricos e vazão mássica (passo a passo):
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0025\approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
P=\pi D=\pi\cdot 0{,}10\approx 0{,}314159\\ \mathrm{m}.
Vazão mássica:
\dot{m}=\rho V A = 500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}00785398 \approx 1{,}96350\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Determinar o regime de escoamento e Prandtl (para escolher correlação de Nusselt):
Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{0{,}5\cdot 0{,}10}{5\times 10^{-4}}=\frac{0{,}05}{5\times10^{-4}}=100.
Como \mathrm{Re}=100<2300, o escoamento é laminar. Agora a difusividade térmica \alpha e o número de Prandtl:
\alpha=\frac{k}{\rho C_p}=\frac{2}{500\cdot 200}=\frac{2}{100000}=2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{5\times 10^{-4}}{2\times 10^{-5}}=25.
Com \mathrm{Re}=100 e \mathrm{Pr}=25 calculamos o comprimento de entrada térmica aproximado (para confirmar se o tubo é longo o suficiente para atingir o regime termicamente plenamente desenvolvido):
L_{\text{th}}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D=0{,}05\cdot 100\cdot 25\cdot 0{,}10=12{,}5\\ \mathrm{m}.
Como L=70\\ \mathrm{m}\gg L_{\text{th}}, a grande maior parte do tubo está em regime termicamente desenvolvido. Para escoamento laminar e parede à temperatura constante, o número de Nusselt no regime termicamente plenamente desenvolvido é
\mathrm{Nu}=3{,}66.
(Explicação curta: essa é a solução clássica para escoamento interno laminar com temperatura de parede constante; nas regiões de entrada o Nu é maior, mas a média ao longo de um comprimento muito maior que L_{\text{th}} fica próxima desse valor.)

Passo 5

Cálculo do coeficiente convectivo h:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{3{,}66\cdot 2}{0{,}10}=73{,}2\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Substituir na solução da equação diferencial e obter o fator exponencial:
Recordando a solução
T_m(x)=T_w+(T_{in}-T_w)\exp\!\Bigl(-\frac{h P}{\dot{m} C_p}\,x\Bigr).
Calculo do argumento da exponencial:
\frac{h P}{\dot{m} C_p}=\frac{h\pi D}{\rho V A C_p}.
Usando A=\pi D^2/4 essa expressão simplifica-se para (mostro a simplificação para você saber fazer na prova):
\frac{h P}{\dot{m} C_p}=\frac{h\pi D}{\rho V (\pi D^2/4) C_p}=\frac{4 h}{\rho V C_p D}.
Agora calculo numericamente:
\frac{4h}{\rho V C_p D}=\frac{4\cdot 73{,}2}{500\cdot 0{,}5\cdot 200\cdot 0{,}10}.
Denominador: 500\cdot0{,}5=250. 250\cdot200=50000. 50000\cdot0{,}10=5000.
Numerador: 4\cdot73{,}2=292{,}8.
Logo
\frac{4h}{\rho V C_p D}=\frac{292{,}8}{5000}=0{,}05856\\ \mathrm{m^{-1}}.
O argumento para x=L=70\\ \mathrm{m} é
\frac{h P}{\dot{m} C_p}\,L = 0{,}05856\cdot 70 \approx 4{,}0992.
Então
\exp\!\bigl(-4{,}0992\bigr)\approx 0{,}0166.

Passo 7

Calcular a temperatura média no final ( x=L):
T_m(L)=T_w+(T_{in}-T_w)\exp\!\bigl(-4{,}0992\bigr).
Substituo T_w=50^\circ\mathrm{C} e T_{in}=5^\circ\mathrm{C}:
T_m(L)=50+(5-50)\cdot 0{,}0166=50-45\cdot 0{,}0166\approx 50-0{,}747\approx 49{,}253^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável, T_m(L)\approx 49{,}25^\circ\mathrm{C}. Comentário sem drama: o óleo praticamente atinge a temperatura da parede ao longo dos 70\\ \mathrm{m} (por isso o expoente grande).

Passo 8

Cálculo da taxa de transferência de calor \dot{Q}. Forma direta (mais segura em prova) é usar balanço de energia:
\dot{Q}=\dot{m} C_p\bigl(T_m(L)-T_{in}\bigr).
Já calculamos \dot{m}\approx 1{,}96350\\ \mathrm{kg/s} e C_p=200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. A variação de temperatura é \Delta T = 49{,}253-5 = 44{,}253\\ \mathrm{K}. Então
\dot{Q}=1{,}96350\cdot 200\cdot 44{,}253 \approx 392{,}70\cdot 44{,}253\approx 1{,}7378\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
Ou seja \dot{Q}\approx 1{,}74\times 10^{4}\\ \mathrm{W} (aprox. 17{,}4\\ \mathrm{kW}).
Observação alternativa (mesma coisa): usando a expressão analítica da solução, pode-se escrever
\dot{Q}=\dot{m}C_p(T_w-T_{in})\bigl(1-e^{-4{,}0992}\bigr),
que leva ao mesmo valor numérico.

Resposta

(a) T_{\text{final}}\approx 49{,}25^\circ\mathrm{C}\n(b) \dot{Q}\approx 1{,}74\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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