Questão 04.
Considere o escoamento de um fluido a
e
) em um oleoduto de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de
. A seção horizontal de 70 m de comprimento do oleoduto está mantida a temperatura constante de
. Desconsiderando a resistència térmica do material do tubo, determine:
(a) a temperatura do óleo no final do oleoduto
(b) a taxa de transferència de calor para o fluido (
)
(a) a temperatura do óleo no final do oleoduto
(b) a taxa de transferència de calor para o fluido (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) A temperatura do óleo no final do oleoduto, isto é, a temperatura média em massa do fluido após percorrer
de tubulação cuja parede está mantida em . - (b) A taxa de transferência de calor para o fluido (potência térmica absorvida pelo óleo) ao longo desses
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
A questão diz para desprezar a resistência térmica do material do tubo (ou seja, considerar apenas convecção do fluido interno com a parede a
).
Passo 2
Modelo físico e equação básica (explicação didática): ao longo do tubo a temperatura média do fluido
varia porque a parede a
fornece calor por convecção. Para uma pequena fatia de tubo de comprimento
fazemos balanço de energia (é o jeito mais direto): a variação de energia do fluxo é igual ao fluxo de calor convectivo da parede para o fluido nessa fatia. Isso leva à equação diferencial
onde explico cada termo:
-
= temperatura média em massa do fluido no local (o que queremos). -
= temperatura da parede (aqui ). -
= coeficiente convectivo médio entre parede e fluido (unidade ). -
= perímetro interno do tubo ( ). -
= vazão mássica do fluido ( , com área da seção). -
= capacidade térmica do fluido.
Essa equação é linear e sua solução (com condição) é
Portanto, precisamos estimar
. Para isso usamos correlações de troca térmica interna (Nusselt).
Passo 3
Cálculos geométricos e vazão mássica (passo a passo):
Vazão mássica:
Passo 4
Determinar o regime de escoamento e Prandtl (para escolher correlação de Nusselt):
Reynolds:
Reynolds:
Como
, o escoamento é laminar. Agora a difusividade térmica
e o número de Prandtl:
Com
e
calculamos o comprimento de entrada térmica aproximado (para confirmar se o tubo é longo o suficiente para atingir o regime termicamente plenamente desenvolvido):
Como
, a grande maior parte do tubo está em regime termicamente desenvolvido. Para escoamento laminar e parede à temperatura constante, o número de Nusselt no regime termicamente plenamente desenvolvido é
(Explicação curta: essa é a solução clássica para escoamento interno laminar com temperatura de parede constante; nas regiões de entrada o Nu é maior, mas a média ao longo de um comprimento muito maior que
fica próxima desse valor.)
Passo 5
Cálculo do coeficiente convectivo
:
Passo 6
Substituir na solução da equação diferencial e obter o fator exponencial:
Recordando a solução
Recordando a solução
Calculo do argumento da exponencial:
Usando
essa expressão simplifica-se para (mostro a simplificação para você saber fazer na prova):
Agora calculo numericamente:
Denominador:
.
.
.
Numerador: .
Logo
Numerador:
Logo
O argumento para
é
Então
Passo 7
Calcular a temperatura média no final (
):
Substituo
e
:
Arredondando de forma razoável,
. Comentário sem drama: o óleo praticamente atinge a temperatura da parede ao longo dos
(por isso o expoente grande).
Passo 8
Cálculo da taxa de transferência de calor
. Forma direta (mais segura em prova) é usar balanço de energia:
Já calculamos
e
. A variação de temperatura é
. Então
Ou seja
(aprox.
).
Observação alternativa (mesma coisa): usando a expressão analítica da solução, pode-se escrever
que leva ao mesmo valor numérico.
Resposta
(a)
\n(b)