_ Questão 7. Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função dada é contínua no ponto especificado, que nesse caso é
. A função é definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
- A função
está definida em . - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em
? Olhando para a definição da função, se
é racional (o que é verdade, porque 0 pode ser escrito como
), então:
Então, a função está definida em
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. A função muda de
para
dependendo se
é racional ou irracional. Então, vamos considerar os limites pelas sequências racionais e irracionais.
- Se
é racional, . Então,:
- Se
é irracional, . Então,:
Como ambas as sequências (racionais e irracionais) têm limite 0 quando
se aproxima de 0, o limite geral de
quando
se aproxima de 0 existe e é igual a 0.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar a terceira condição: o limite que encontramos é igual ao valor da função em
?
Sim, os dois são iguais.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.