_ Questão 7. Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(b) f(x) = { x, se x pertence a Q; -x, se x não pertence a Q; x0 = 0 }

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função dada é contínua no ponto especificado, que nesse caso é . A função é definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em ? Olhando para a definição da função, se é racional (o que é verdade, porque 0 pode ser escrito como ), então:
Então, a função está definida em .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de quando se aproxima de 0. A função muda de para dependendo se é racional ou irracional. Então, vamos considerar os limites pelas sequências racionais e irracionais.
  • Se é racional, . Então,:
  • Se é irracional, . Então,:
Como ambas as sequências (racionais e irracionais) têm limite 0 quando se aproxima de 0, o limite geral de quando se aproxima de 0 existe e é igual a 0.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar a terceira condição: o limite que encontramos é igual ao valor da função em ?
Sim, os dois são iguais.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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