Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{4}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(x, y, z, w)=\left(\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}x & y \\\\ 1 & 1\end{array}\right), \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}z & w \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right) ;

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z,w)=\bigl(\det\begin{pmatrix}x & y\\\ 1 &1\end{pmatrix},\;\det\begin{pmatrix}z & w\\\ 1 &1\end{pmatrix}\bigr)
e pede verificar se T é linear e, nesse caso, achar posto e nulidade.

Passo 2

Calculando as determinantes:
\det\begin{pmatrix}x & y\\\ 1 &1\end{pmatrix}=x-y,\quad \det\begin{pmatrix}z & w\\\ 1 &1\end{pmatrix}=z-w,
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T(x,y,z,w)=(x-y,\;z-w),
o que é claramente linear (diferença de coordenadas).

Passo 3

Na base canônica, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como as duas linhas são independentes, \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 4

O núcleo de T é dado por
x-y=0,\quad z-w=0
ou seja x=y e z=w. Uma base do núcleo é \{(1,1,0,0),(0,0,1,1)\}, então \dim\ker T=2.

Resposta

T é linear, posto =2, nulidade =2.

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