Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x-y & x+y \\\ x & y\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x-y & x+y\x & y\end{pmatrix},
e pede para verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar \operatorname{posto}(T) e \operatorname{nulidade}(T). O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo e imagem.

Passo 2

Cada entrada de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z sem termo constante, logo
T(a(x,y,z)+b(x',y',z'))=a\,T(x,y,z)+b\,T(x',y',z'),
ou seja, T é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y=0,\;x+y=0,\;x=0,\;y=0,
de onde (x,y)=(0,0) e z é livre. Assim
\ker(T)=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
logo \dim\ker(T)=1.

Passo 4

A imagem é dada por
\Im(T)=\Bigl\{\begin{pmatrix}x-y & x+y\x & y\end{pmatrix}\!\Bigm|\,x,y\in\mathbb{R}\Bigr\},
que depende de dois parâmetros livres x,y. Tomando, por exemplo, \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} como base, segue \dim\Im(T)=2.

Resposta

T é transformação linear. \operatorname{posto}(T)=2, \operatorname{nulidade}(T)=1.

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