Questão 3 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{P}_{2}, \tilde{V}=\mathcal{P}_{3}, T(p(x))=x p(x);

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathcal{P}_{2}\to\mathcal{P}_{3} por
T(p(x)) = x\,p(x).
Vamos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular \nullity(T) e \rank(T).

Passo 2

Para todo p,q\in\mathcal{P}_{2} e todo \alpha\in\mathbb{R} temos
T(p+q)=x\,(p+q)=xp+xq=T(p)+T(q),
T(\alpha p)=x\,(\alpha p)=\alpha\,(xp)=\alpha\,T(p).
Logo, T é transformação linear.

Passo 3

O núcleo de T é
\ker(T)=\{p\in\mathcal{P}_{2}\mid x\,p(x)\equiv0\}=\{0\},
pois x\,p(x)=0 para todo x implica p(x)=0. Portanto
\nullity(T)=\dim\ker(T)=0.

Passo 4

Pela fórmula do posto-nulidade em \mathcal{P}_{2} (dimensão 3),
\rank(T)=\dim\mathcal{P}_{2}-\nullity(T)=3-0=3.

Resposta

T é linear, \rank(T)=3, \nullity(T)=0.

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