Questão 3 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathcal{P}_{2}, T(a, b, c)=(x-a)^{2};

Passo 1

O enunciado define \displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathcal{P}_2
por
T(a,b,c) = (x - a)^2
e pede para verificar se T é transformação linear; em caso afirmativo, determinar posto e nulidade; caso contrário, justificar com contra-exemplo em no máximo duas linhas.

Passo 2

Para testar homogeneidade, escolhemos (a,b,c)=(1,0,0) e o escalar 2.
Temos
T(1,0,0)=(x-1)^2=x^2-2x+1,
2\,T(1,0,0)=2x^2-4x+2,
porém
T(2,0,0)=(x-2)^2=x^2-4x+4\neq2x^2-4x+2.
Isso já basta para concluir que T não é linear.

Resposta

T não é linear, pois \,T(2,0,0)=(x-2)^2\neq2\,(x-1)^2=2\,T(1,0,0).

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