Questão 4 Considere um transformação linear T em \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}, \mathbb{R}^{3}\right) com T(1+x)=(1,2,0), T\left(x+x^{2}\right)=(0,1,0) e T(3)=(0,0,1).
(a) Determine [T];
(b) Determine T^{-1}(1,1,1).

Passo 1

O enunciado define T:\mathcal{P}_2\to\mathbb{R}^3 linear e dá
T(1+x)=(1,2,0),\quad T(x+x^2)=(0,1,0),\quad T(3)=(0,0,1).
Vamos encontrar a matriz de T na base padrão \{1,x,x^2\} e depois calcular T^{-1}(1,1,1).

Passo 2

Usando linearidade em T(3)=3\,T(1), temos
3\,T(1)=(0,0,1)\quad\Longrightarrow\quad T(1)=\bigl(0,0,\tfrac13\bigr).

Passo 3

Como T(1+x)=T(1)+T(x), segue
T(x)=T(1+x)-T(1)=(1,2,0)-\bigl(0,0,\tfrac13\bigr)=(1,2,-\tfrac13).

Passo 4

De T(x+x^2)=T(x)+T(x^2) obtemos
T(x^2)=T(x+x^2)-T(x)=(0,1,0)-(1,2,-\tfrac13)=(-1,-1,\tfrac13).

Passo 5

A matriz de T na base \{1,x,x^2\} da domain e base canônica do contradomínio tem colunas T(1), T(x), T(x^2). Logo,
[T] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & -1\\\ \tfrac13 & -\tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix}.

Passo 6

Para achar T^{-1}(1,1,1)\), escrevemos \[T(a+bx+cx^2)=a\,T(1)+b\,T(x)+c\,T(x^2) =(b-c,\;2b-c,\;\tfrac{a-b+c}{3})
e impomos
(b-c,\,2b-c,\,\tfrac{a-b+c}{3})=(1,1,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} b-c=1,\\\\ 2b-c=1,\\\ a-b+c=3. \end{cases}
Da primeira e segunda equações vem b=0\] e \(c=-1, e da terceira a=4.

Resposta

[T]=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & -1\\\ \tfrac13 & -\tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix} T^{-1}(1,1,1)=4 - x^2.

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