Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-z, x-y, 2 x-y-z);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x-z,\;x-y,\;2x-y-z)
é linear e, em caso afirmativo, determinar seu posto e sua nulidade. Para isso vamos (i) ver que cada componente é combinação linear de (x,y,z) sem termo constante, garantindo linearidade, e (ii) usar a matriz associada na base canônica para calcular posto e nulidade via redução.

Passo 2

Como cada componente de T(x,y,z) é uma combinação linear de x,y,z sem termo independente, T preserva soma e multiplicação por escalar. Logo, T é transformação linear.

Passo 3

Representando T na base canônica obtemos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Fazendo R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-2R_1 vem
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e em seguida R_3\leftarrow R_3-R_2, R_2\leftarrow -R_2
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Como há 2 linhas não nulas, \mathrm{posto}(T)=2.

Passo 4

Para a nulidade resolvemos A(x,y,z)^T=0\), isto é \[\begin{cases} x - z = 0,\\\ x - y = 0,\\\\ 2x - y - z = 0. \end{cases}
Das duas primeiras vem x=y=z\], e a terceira é redundante. Assim \(\ker T=\{t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}, de dimensão 1, ou seja, nulidade =1.

Resposta

T é linear, \mathrm{posto}(T)=2, \mathrm{nulidade}(T)=1.

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