3^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
& hc(x)=1x & em[1,4]

Passo 1

Enunciado: temos a função hc(x)=1x no intervalo [1,4]. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que exige continuidade em um intervalo fechado e nos garante que, para qualquer valor intermediário entre hc(1) e hc(4), existe um ponto c nesse intervalo onde a função atinge esse valor.

Passo 2

Verificação de continuidade: a função hc(x)=1/x é contínua em todo Rsetminus0. Em particular, como [1,4] não contém zero, hc é contínua em [1,4]. Portanto, atende à hipótese de continuidade do TVI.

Passo 3

Cálculo dos valores nos extremos:
hc(1)=11=1,
hc(4)=14=14

Passo 4

Aplicação do TVI: como hc(1)=1 e hc(4)=1/4, para qualquer valor L tal que
14<= L<=1,
existe ao menos um cin[1,4] com hc(c)=L.

Passo 5

Determinação de c: da equação 1c=L isolamos c:
c=1L
Como Lin[1/4,1], temos c=1/Lin[1,4], garantindo que esse c está no intervalo proposto.

Resposta

A função hc(x)=1/x satisfaz o Teorema do Valor Intermediário em [1,4]. Para qualquer valor intermediário Lin[1/4,1], o ponto c=1/Lin[1,4] satisfaz hc(c)=L.

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