Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de completar o quadrado para resolver a equação f(x)=0, esboçar o gráfico de y=f(x) e encontrar a inversa de f(x), restringindo domínio e contradomínio se for preciso. O conteúdo principal é função quadrática e inversão de função.
Passo 2
Para completar o quadrado em f(x)=x^{2}-6x+12, agrupamos os termos quadráticos e lineares e escrevemos
agora sabemos que a parábola tem vértice em (3,3) e concavidade para cima.
Passo 3
Para resolver f(x)=0, igualamos a expressão completada a zero:
Como o quadrado de um número real não pode ser negativo, não existem soluções reais para f(x)=0.
Passo 4
O gráfico de y=f(x) é uma parábola com vértice em (3,3), sem interceptação no eixo x, intercepta o eixo y em f(0)=12 e abre para cima.
Passo 5
Como f não é injetora em
, restringimos o domínio para x\ge3 (ramos crescente) e então f: [3,\infty)\to[3,\infty) é bijetora. Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos para x com x\ge3:
Passo 6
Troca-se y por x para obter a inversa f^{-1}(x)=3+\sqrt{x-3}, com domínio [3,\infty) e contradomínio [3,\infty).
Resposta
A equação f(x)=0 não tem soluções reais. O gráfico de y=f(x) é uma parábola de vértice (3,3) que abre para cima sem intercepto em x. Restrita a f:[3,∞)→[3,∞), a inversa é f^{-1}(x)=3+√(x−3).