- Questão 9: Verifique que não são subespaços vetoriais do
:
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
ou seja, todos os vetores de
cujo primeiro componente vale
.
A pergunta é: verificar que não é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: verificar que
Informações relevantes fornecidas:
- Um elemento típico de
tem a forma com . - Queremos concluir se
satisfaz (ou não) as propriedades exigidas para ser subespaço.
Passo 2
Primeira ideia didática: o que exige um subconjunto ser subespaço? Vou explicar de forma prática e simples, sem jargões extra.
- Um subespaço vetorial
de precisa, em particular, conter o vetor zero . Por que? Se é subespaço então é não vazio e fechado sob multiplicação por escalares; escolhendo qualquer e multiplicando por (o escalar zero) obtém-se , que portanto deve estar em . Assim, conter o vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço. - Alternativamente, outra forma prática de testar: verificar se
é fechado sob soma (soma de dois elementos de está em ) e sob multiplicação por escalar (para todo escalar e todo , tem ). Falha em qualquer uma dessas propriedades já basta para descartar ser subespaço.
Vou usar a condição “deve conter o vetor zero” porque é a mais rápida neste caso.
Passo 3
Verificação do vetor zero em
:
- O vetor zero de
é . - Um vetor pertence a
somente se a sua primeira componente for . Como a primeira componente de é , temos que . - Pelo argumento didático do passo anterior, todo subespaço deve conter
. Como não contém , conclui-se já que não pode ser subespaço de .
Passo 4
(Explicação extra, para fixar a ideia e mostrar outra forma de ver a falha.) Verificação de fechamento sob soma e multiplicação por escalares:
- Tome dois vetores quaisquer de
: e . A soma é
cuja primeira componente é
, não
. Logo a soma não pertence a
em geral, mostrando que
não é fechado sob soma.
- Tome um vetor
e o escalar . O produto é
que, como já vimos, não está em
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Esses dois pontos adicionais reforçam a conclusão do passo anterior.
Passo 5
Conclusão clara e direta:
falha em conter o vetor zero e falha em ser fechado sob soma e multiplicação por escalares; portanto
não é subespaço vetorial de
.