• Questão 9: Verifique que não são subespaços vetoriais do \mathbb{R}^{3} :
    W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=1\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \\ ;\\ x=1\},
ou seja, todos os vetores de \mathbb{R}^3 cujo primeiro componente vale 1.
A pergunta é: verificar que W não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um elemento típico de W tem a forma (1,y,z) com y,z\in\mathbb{R}.
  • Queremos concluir se W satisfaz (ou não) as propriedades exigidas para ser subespaço.

Passo 2

Primeira ideia didática: o que exige um subconjunto ser subespaço? Vou explicar de forma prática e simples, sem jargões extra.
  • Um subespaço vetorial U de \mathbb{R}^3 precisa, em particular, conter o vetor zero (0,0,0). Por que? Se U é subespaço então é não vazio e fechado sob multiplicação por escalares; escolhendo qualquer u\in U e multiplicando por 0 (o escalar zero) obtém-se 0\cdot u=(0,0,0), que portanto deve estar em U. Assim, conter o vetor zero é uma condição necessária para ser subespaço.
  • Alternativamente, outra forma prática de testar: verificar se U é fechado sob soma (soma de dois elementos de U está em U) e sob multiplicação por escalar (para todo escalar \lambda e todo u\in U, tem \lambda u\in U). Falha em qualquer uma dessas propriedades já basta para descartar ser subespaço.
Vou usar a condição “deve conter o vetor zero” porque é a mais rápida neste caso.

Passo 3

Verificação do vetor zero em W:
  • O vetor zero de \mathbb{R}^3 é (0,0,0).
  • Um vetor pertence a W somente se a sua primeira componente for 1. Como a primeira componente de (0,0,0) é 0, temos que (0,0,0)\notin W.
  • Pelo argumento didático do passo anterior, todo subespaço deve conter (0,0,0). Como W não contém (0,0,0), conclui-se já que W não pode ser subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

(Explicação extra, para fixar a ideia e mostrar outra forma de ver a falha.) Verificação de fechamento sob soma e multiplicação por escalares:
  • Tome dois vetores quaisquer de W: (1,y_1,z_1)\in W e (1,y_2,z_2)\in W. A soma é
(1,y_1,z_1)+(1,y_2,z_2)=(2,y_1+y_2,z_1+z_2),
cuja primeira componente é 2, não 1. Logo a soma não pertence a W em geral, mostrando que W não é fechado sob soma.
  • Tome um vetor (1,y,z)\in W e o escalar \lambda=0. O produto é
0\cdot(1,y,z)=(0,0,0),
que, como já vimos, não está em W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalar.
Esses dois pontos adicionais reforçam a conclusão do passo anterior.

Passo 5

Conclusão clara e direta: W falha em conter o vetor zero e falha em ser fechado sob soma e multiplicação por escalares; portanto W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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