1. Considere V=\mathbb{R}^{3} com a base ordenada \mathcal{B}=\{(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)\}. Determine o vetor v \in V cujas componentes em relação a \mathcal{B} são 2,-3 e 4 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.
  • Base ordenada \mathcal{B}=\{(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)\}. Vou nomear os vetores da base como b_{1}=(1,2,3),\qquad b_{2}=(0,1,2),\qquad b_{3}=(0,0,1).
  • As componentes de v em relação a \mathcal{B} são 2,-3 e 4. Ou seja, os escalares fornecidos são c_{1}=2,\qquad c_{2}=-3,\qquad c_{3}=4.
O que o problema pede: determinar o vetor v\in V (no sistema de coordenadas usual de \mathbb{R}^{3}) cujo vetor de coordenadas em relação a \mathcal{B} é (2,-3,4).

Passo 2

Entendendo o que significa “componentes em relação à base”: se \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} e as coordenadas de v são c_{1},c_{2},c_{3}, então por definição
v = c_{1}b_{1} + c_{2}b_{2} + c_{3}b_{3}.
Aqui:
  • v é o vetor desconhecido em \mathbb{R}^{3} (será escrito na forma (x,y,z) no sistema padrão);
  • b_{1},b_{2},b_{3} são os vetores da base (já listados no Passo 1);
  • c_{1},c_{2},c_{3} são os números que multiplicam cada vetor da base (a partir das componentes dadas).
Portanto, para achar v basta calcular essa combinação linear com os c_{i} dados.

Passo 3

Substituindo os valores:
v = 2\,b_{1} + (-3)\,b_{2} + 4\,b_{3}.
Reescrevendo com os vetores explícitos:
v = 2(1,2,3) + (-3)(0,1,2) + 4(0,0,1).

Passo 4

Calcular cada produto escalar componente a componente:
2(1,2,3) = (2,4,6),
(-3)(0,1,2) = (0,-3,-6),
4(0,0,1) = (0,0,4).
Expliquei: cada produto escalar multiplica cada componente do vetor pela constante.

Passo 5

Somar os três vetores componente a componente:
  • Primeira coordenada: 2 + 0 + 0 = 2.
  • Segunda coordenada: 4 + (-3) + 0 = 1.
  • Terceira coordenada: 6 + (-6) + 4 = 4.
Portanto
v = (2,1,4).

Passo 6

(Visão alternativa — forma matricial, só para aprendizado.) Se formar a matriz cujas colunas são os vetores da base:
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \text{e o vetor de coordenadas} \quad \begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]4\end{pmatrix},
então v no sistema padrão é v = B\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 4\end{pmatrix}, que ao multiplicar dá o mesmo resultado (2,1,4). Isso confirma a conta anterior.]

Resposta

v=(2,1,4)

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