Questão 0.3. Verifique se os seguintes subconjuntos de mathbb{R}^{2} são L.I. ou L.D.:
B=\{(1,1),(1,-1),(2,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = \{(1,1),\,(1,-1),\,(2,1)\}
em \mathbb{R}^2 é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). O conteúdo principal é a definição de independência linear e a propriedade de dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial de dimensão n, todo conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Como \mathbb{R}^2 tem dimensão 2 e o conjunto B tem 3 vetores, concluímos imediatamente que B é linearmente dependente.

Passo 3

Para ilustrar a dependência, exibimos uma combinação não trivial que dá o vetor zero. Procuramos escalares d,e tais que
d\,(1,1) \;+\; e\,(1,-1) \;=\;(2,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} d + e = 2,\\\ d - e = 1. \end{cases}
Daí segue que
d = \tfrac{3}{2}, \quad e = \tfrac{1}{2}.
Assim,
\tfrac{3}{2}(1,1) \;+\; \tfrac{1}{2}(1,-1) \;-\;1\cdot(2,1) \;=\;(0,0),
que é uma relação de dependência não trivial.

Resposta

O conjunto B é linearmente dependente.

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