Questão 0.4. Verifique se os seguintes subconjuntos de mathbb{R}^{3} são L.I. ou L.D.:
B=\{(-3,1,0),(0,-1,2)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = \{\,(-3,1,0),\,(0,-1,2)\}
em \mathbb{R}^3 é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Denotemos os vetores por
v_1 = (-3,1,0), \quad v_2 = (0,-1,2).
Queremos ver se existem escalares a e b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = (0,0,0).

Passo 3

Escrevendo a combinação componente a componente, temos o sistema
\begin{cases} -3a + 0b = 0,\\\ \;1a - 1b = 0,\\\ \;0a + 2b = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0. Da terceira equação vem 2b=0, logo b=0. Substituindo em a - b = 0 confirma-se que 0 - 0 = 0.

Passo 4

Como a única solução do sistema é a=0 e b=0, não existe combinação linear não trivial que anule os vetores. Portanto, pelos requisitos da definição, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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