Questão 0.4. Verifique se os seguintes subconjuntos de mathbb{R}^{3} são L.I. ou L.D.: B=\{(-3,1,0),(0,-1,2)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = \{\,(-3,1,0),\,(0,-1,2)\}
em \mathbb{R}^3 é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Denotemos os vetores por
v_1 = (-3,1,0), \quad v_2 = (0,-1,2).
Queremos ver se existem escalares a e b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = (0,0,0).
Passo 3
Escrevendo a combinação componente a componente, temos o sistema
Da primeira equação vem a=0. Da terceira equação vem 2b=0, logo b=0. Substituindo em a - b = 0 confirma-se que 0 - 0 = 0.
Passo 4
Como a única solução do sistema é a=0 e b=0, não existe combinação linear não trivial que anule os vetores. Portanto, pelos requisitos da definição, os vetores são linearmente independentes.