Questão 0.6. Verifique se os seguintes subconjuntos são bases de \mathbb{R}^{3} :
B=\{(1,6,3),(2,-1,2),(1,-2,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
B = \{(1,6,3),\,(2,-1,2),\,(1,-2,1)\}
é uma base de \mathbb{R}^3.
Conteúdo: espaços vetoriais em \mathbb{R}^3, independência linear e determinante.
Para conjuntos de três vetores em \mathbb{R}^3, basta checar se eles são linearmente independentes, o que equivale a verificar se o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são os vetores de B:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[6pt] 6 & -1 & -2 \\[6pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
\det(M) = 1\begin{vmatrix}-1 & -2 \\[3pt] 2 & 1\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}6 & -2 \\[3pt] 3 & 1\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}6 & -1 \\[3pt] 3 & 2\end{vmatrix}.]

Passo 4

Avaliação de cada menor:
\begin{aligned} \begin{vmatrix}-1 & -2 \\\\ 2 & 1\end{vmatrix} &=(-1)\cdot1 -(-2)\cdot2 = -1 +4 = 3,\\[6pt] \begin{vmatrix}6 & -2 \\\\ 3 & 1\end{vmatrix} &=6\cdot1 -(-2)\cdot3 = 6 +6 = 12,\\[6pt] \begin{vmatrix}6 & -1 \\\\ 3 & 2\end{vmatrix} &=6\cdot2 -(-1)\cdot3 = 12 +3 = 15. \end{aligned}
Logo,
\det(M) = 1\cdot3 \;-\; 2\cdot12 \;+\; 1\cdot15 = 3 -24 +15 = -6.]

Passo 5

Como \det(M) = -6 \neq 0, os vetores de B são linearmente independentes e, por terem três elementos em \mathbb{R}^3, formam uma base.

Resposta

Sim. B é uma base de \mathbb{R}^3, pois \det(M)=-6\neq0.

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