Questão 0.4. Verifique se os seguintes subconjuntos de mathbb{R}^{3} são L.I. ou L.D.:
B=\{(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\displaystyle B = \{(1,1,1),\,(0,0,1),\,(0,1,1)\}
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) em \mathbb{R}^3.
Vamos usar a definição: B é L.I. se a única combinação linear
\alpha\,(1,1,1) + \beta\,(0,0,1) + \gamma\,(0,1,1) = (0,0,0)
que resulte no vetor zero for aquela em que \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo cada coordenada da combinação igual a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0,\\\ \alpha + \gamma = 0,\\\ \alpha + \beta + \gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue \alpha=0. Substituindo na segunda dá \gamma=0.
Com \alpha=0 e \gamma=0, a terceira equação fica \beta=0.
Logo o único triplo (\alpha,\beta,\gamma) que satisfaz é (0,0,0).

Passo 4

Como só existe a solução trivial, o conjunto B é linearmente independente.

Resposta

O conjunto B é L.I. (linearmente independente).

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