Questão 0.6. Verifique se os seguintes subconjuntos são bases de \mathbb{R}^{3} :
B=\{(1,0,4),(2,3,1),(0,-3,7)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\;B = \{(1,0,4),\,(2,3,1),\,(0,-3,7)\}
é uma base de \mathbb{R}^3. Como são três vetores em \mathbb{R}^3, basta checar a independência linear, o que equivale a testar se a matriz que os tem como colunas possui determinante não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são os vetores de B:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & -3 \\\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(M) para avaliar a independência linear.

Passo 3

Expandindo \det(M) pela primeira linha temos
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -3 \\\\ 1 & 7\end{pmatrix} - 2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -3 \\\\ 4 & 7\end{pmatrix} + 0\cdot(\dots).
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -3 \\\\ 1 & 7\end{pmatrix} = 3\cdot7 - (-3)\cdot1 = 21 + 3 = 24,
\det\begin{pmatrix}0 & -3 \\\\ 4 & 7\end{pmatrix} = 0\cdot7 - (-3)\cdot4 = 12.
Portanto,
\det(M) = 1\cdot24 - 2\cdot12 + 0 = 24 - 24 = 0.

Passo 4

Como \det(M)=0, os vetores de B são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto B não é uma base de \mathbb{R}^3, pois seus vetores são linearmente dependentes ( \det(M)=0).

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