Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço do espaço vetorial de todas as funções
com as operações usuais.
O conteúdo aqui é teste de subespaço, que exige:
é subespaço do espaço vetorial
O conteúdo aqui é teste de subespaço, que exige:
- não vazio (ou seja, o vetor zero pertence a
), - fechado sob soma,
- fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Para mostrar que
não é vazio, exibimos a função zero
definida por
Como
, temos
.
Passo 3
Vamos verificar a clausura sob soma. Sejam
. Então para todo
Logo
.
Passo 4
Agora a clausura sob escalar. Seja
e
. Para todo
Logo
.
Resposta
O conjunto
satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial e, portanto, é um subespaço de
.