Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
W=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(-x)=f(x)\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W = \{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(-x)=f(x)\}
é subespaço do espaço vetorial V de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} com as operações usuais.
O conteúdo aqui é teste de subespaço, que exige:
  1. não vazio (ou seja, o vetor zero pertence a W),
  2. fechado sob soma,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para mostrar que W não é vazio, exibimos a função zero \;f_0:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f_0(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como f_0(-x)=0=f_0(x), temos f_0\in W.

Passo 3

Vamos verificar a clausura sob soma. Sejam f,g\in W. Então para todo x\in\mathbb{R}
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Logo f+g\in W.

Passo 4

Agora a clausura sob escalar. Seja f\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Para todo x\in\mathbb{R}
(\lambda f)(-x)=\lambda\bigl(f(-x)\bigr)=\lambda f(x)=(\lambda f)(x).
Logo \lambda f\in W.

Resposta

O conjunto W satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial e, portanto, é um subespaço de V.

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