Questão 4. Prove que o conjunto das matrizes
com entradas reais, munido com as operações usuais de matrizes definidas abaixo, é um espaço vetorial sobre o corpo
:
Note que, em particular, o conjunto
é um espaço vetorial que pode ser identificado com o
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações usuais
é um espaço vetorial sobre
.
Isto significa verificar os seguintes axiomas para todos e todos
:
Isto significa verificar os seguintes axiomas para todos
- Fechamento em soma e em multiplicação escalar.
- Associatividade e comutatividade da soma.
- Existência do vetor zero e do inverso aditivo.
- Distributividades
e . - Associatividade do produto escalar
. - Elemento unitário
.
Passo 2
(Fechamento)
Quando somamos e
obtemos
Quando somamos
Como soma de reais é real, cada entrada
está em
, logo
.
De modo similar, para ,
De modo similar, para
também tem entradas em
, logo
.
Passo 3
(Associatividade e comutatividade da soma)
Sejam ,
,
.
Para cada par vale
Sejam
Para cada par
pela associatividade da soma em
. Logo
.
E
E
pela comutatividade em
, logo
.
Passo 4
(Zero e inverso aditivo)
Defina a matriz zero
Defina a matriz zero
Então
portanto
.
Para o inverso aditivo de tomamos
, pois
Para o inverso aditivo de
isto é
.
Passo 5
(Distributividades)
Para cada temos
Para cada
logo
.
E
E
logo
.
Passo 6
(Associatividade do escalar e unidade)
Para entradas:
Para entradas:
logo
.
E como em
, temos
E como
isto é
.
Resposta
Concluímos que todas as propriedades de espaço vetorial sobre
são satisfeitas por
. Portanto
é um espaço vetorial sobre
, e no caso particular
fica identificado com
.