Questão 4. Prove que o conjunto das matrizes M(m \times n) com entradas reais, munido com as operações usuais de matrizes definidas abaixo, é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} :
\begin{gathered} {\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]=\left[a_{i j}+b_{i j}\right] ;} \\\ \alpha \cdot\left[a_{i j}\right]=\left[\alpha a_{i j}\right],\left(a_{i j}, b_{i j} \in \mathbb{R}, \forall i, j\right) \end{gathered}
Note que, em particular, o conjunto
M(1 \times n)=\left\{\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \end{array}\right] ; a_{1 i} \in \mathbb{R}\right\}
é um espaço vetorial que pode ser identificado com o \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
M(m\times n)=\bigl\{A=[a_{ij}]\mid a_{ij}\in\mathbb{R},\;1\le i\le m,\;1\le j\le n\bigr\}
com as operações usuais
A+B=[\,a_{ij}+b_{ij}\,], \quad \alpha\cdot A=[\,\alpha\,a_{ij}\,],
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Isto significa verificar os seguintes axiomas para todos A,B,C\in M(m\times n) e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R}:
  1. Fechamento em soma e em multiplicação escalar.
  2. Associatividade e comutatividade da soma.
  3. Existência do vetor zero e do inverso aditivo.
  4. Distributividades \alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B e (\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A.
  5. Associatividade do produto escalar (\alpha\beta)A=\alpha(\beta A).
  6. Elemento unitário 1\cdot A=A.

Passo 2

(Fechamento)
Quando somamos A=[a_{ij}] e B=[b_{ij}] obtemos
A+B=[\,a_{ij}+b_{ij}\,].
Como soma de reais é real, cada entrada a_{ij}+b_{ij} está em \mathbb{R}, logo A+B\in M(m\times n).
De modo similar, para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\cdot A=[\,\alpha\,a_{ij}\,]
também tem entradas em \mathbb{R}, logo \alpha A\in M(m\times n).

Passo 3

(Associatividade e comutatividade da soma)
Sejam A=[a_{ij}], B=[b_{ij}], C=[c_{ij}].
Para cada par (i,j) vale
\bigl(A+(B+C)\bigr)_{ij} = a_{ij} + (b_{ij}+c_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij}) + c_{ij} = \bigl((A+B)+C\bigr)_{ij},
pela associatividade da soma em \mathbb{R}. Logo A+(B+C)=(A+B)+C.
E
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=(B+A)_{ij},
pela comutatividade em \mathbb{R}, logo A+B=B+A.

Passo 4

(Zero e inverso aditivo)
Defina a matriz zero
O=[0],\quad O_{ij}=0\quad\forall i,j.
Então
(A+O)_{ij}=a_{ij}+0=a_{ij},
portanto A+O=A.
Para o inverso aditivo de A tomamos -A=[-a_{ij}], pois
(A+(-A))_{ij}=a_{ij}+(-a_{ij})=0,
isto é A+(-A)=O.

Passo 5

(Distributividades)
Para cada (i,j) temos
\bigl(\alpha(A+B)\bigr)_{ij} =\alpha\,(a_{ij}+b_{ij}) =\alpha\,a_{ij}+\alpha\,b_{ij} =\bigl(\alpha A+\alpha B\bigr)_{ij},
logo \alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B.
E
\bigl((\alpha+\beta)A\bigr)_{ij} =(\alpha+\beta)\,a_{ij} =\alpha\,a_{ij}+\beta\,a_{ij} =\bigl(\alpha A+\beta A\bigr)_{ij},
logo (\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A.

Passo 6

(Associatividade do escalar e unidade)
Para entradas:
\bigl((\alpha\beta)A\bigr)_{ij} =(\alpha\beta)\,a_{ij} =\alpha\,(\beta\,a_{ij}) =\bigl(\alpha(\beta A))\bigr)_{ij},
logo (\alpha\beta)A=\alpha(\beta A).
E como 1\cdot a_{ij}=a_{ij} em \mathbb{R}, temos
(1\cdot A)_{ij}=1\cdot a_{ij}=a_{ij},
isto é 1\cdot A=A.

Resposta

Concluímos que todas as propriedades de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas por M(m\times n). Portanto M(m\times n) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, e no caso particular M(1\times n) fica identificado com \mathbb{R}^n.

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