Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções reais em
, com as operações usuais (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar).
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. Como
seguimos que
.
Passo 3
Verificamos a fechamento em relação à soma. Se
e
estão em
, então
Da linearidade do integral segue
logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento em relação à multiplicação por escalar. Se
e
, então
portanto
.
Passo 5
Como
contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial.