Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
W=\left\{f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} ; \int_{a}^{b} f(x) d x=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \bigl\{f : [a,b]\to\mathbb{R}\mid \int_{a}^{b}f(x)\,dx = 0\bigr\}
é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções reais em [a,b], com as operações usuais (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar).

Passo 2

Verificamos se a função zero 0(x)=0 pertence a W. Como
\int_{a}^{b}0(x)\,dx = \int_{a}^{b}0\,dx = 0,
seguimos que 0\in W.

Passo 3

Verificamos a fechamento em relação à soma. Se f e g estão em W, então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = 0 \quad\text{e}\quad \int_{a}^{b}g(x)\,dx = 0.
Da linearidade do integral segue
\int_{a}^{b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \int_{a}^{b}g(x)\,dx = 0 + 0 = 0,
logo f+g\in W.

Passo 4

Verificamos o fechamento em relação à multiplicação por escalar. Se f\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então
\int_{a}^{b}\bigl(\alpha\,f(x)\bigr)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \alpha\cdot 0 = 0,
portanto \alpha f\in W.

Passo 5

Como W contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial.

Resposta

W é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções reais em [a,b].

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