Questão 1. Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, com justificativa, se a série
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
- A série é alternada por causa do fator
. - O termo geral (em valor absoluto) é
. - A soma começa em
(importante porque daria problema).
Passo 2
Definição e estratégia: para decidir entre convergência absoluta, condicional ou divergência, começamos testando a convergência absoluta.
- Uma série
converge absolutamente se a série com termos positivos converge. - Aqui
. Então vamos estudar a série
Uma ferramenta adequada para séries com termos do tipo
é o teste da integral (integral test), que exige que a função contínua positiva e decrescente
para
seja usada e que
e
tenham o mesmo comportamento (ambas convergem ou divergem).
Passo 3
Aplicando o teste da integral: consideramos a integral imprópria
Fazemos a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral transforma-se em
Agora integramos
: uma primitiva é
. Portanto
O termo
tende a
quando
, então a integral converge e seu valor finito é
Passo 4
Conclusão sobre a série absoluta: pelo teste da integral, como a integral de
de
a
é finita, a série
converge. Logo a série original converge absolutamente. Lembre que convergência absoluta implica convergência (não é condicional), então a série converge de forma absoluta e, portanto, converge (e não apenas condicionalmente).
Passo 5
Comentário didático e regra geral (útil para a prova): para séries do tipo
ou suas versões em valor absoluto
, pelo mesmo cálculo com substituição
obtemos que
converge se, e somente se,
. Aqui
, então a série em valor absoluto converge. Exemplos rápidos para intuição: se
a integral diverge (e a série
diverge), se
converge (e a série
converge).
Resposta
Converge absolutamente.