Questão 1. Verifique, com justificativa, se cada série alternada abaixo converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, com justificativa, se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{4}}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • A série é alternada por causa do fator ( -1)^{n}.
  • O termo geral (em valor absoluto) é \dfrac{1}{n(\ln n)^{4}}.
  • A soma começa em n=2 (importante porque \ln 1=0 daria problema).

Passo 2

Definição e estratégia: para decidir entre convergência absoluta, condicional ou divergência, começamos testando a convergência absoluta.
  • Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série com termos positivos \sum |a_n| converge.
  • Aqui |a_n|=\dfrac{1}{n(\ln n)^{4}}. Então vamos estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{4}}.
Uma ferramenta adequada para séries com termos do tipo \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} é o teste da integral (integral test), que exige que a função contínua positiva e decrescente f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{4}} para x\ge 2 seja usada e que \sum f(n) e \int f(x)\,dx tenham o mesmo comportamento (ambas convergem ou divergem).

Passo 3

Aplicando o teste da integral: consideramos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{4}}\,dx.
Fazemos a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-4}\,du.
Agora integramos u^{-4}: uma primitiva é -\dfrac{1}{3}u^{-3}. Portanto
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-4}\,du = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{3}u^{-3}\right]_{u=\ln 2}^{u=R} = \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{3R^{3}} + \frac{1}{3(\ln 2)^{3}}\right).
O termo -\dfrac{1}{3R^{3}} tende a 0 quando R\to\infty, então a integral converge e seu valor finito é
\frac{1}{3(\ln 2)^{3}}.

Passo 4

Conclusão sobre a série absoluta: pelo teste da integral, como a integral de \dfrac{1}{x(\ln x)^{4}} de 2 a \infty é finita, a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{4}}
converge. Logo a série original converge absolutamente. Lembre que convergência absoluta implica convergência (não é condicional), então a série converge de forma absoluta e, portanto, converge (e não apenas condicionalmente).

Passo 5

Comentário didático e regra geral (útil para a prova): para séries do tipo \sum \dfrac{(-1)^n}{n(\ln n)^{p}} ou suas versões em valor absoluto \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}, pelo mesmo cálculo com substituição u=\ln x obtemos que
\int^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{p}}\,dx = \int^{\infty} u^{-p}\,du
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=4>1, então a série em valor absoluto converge. Exemplos rápidos para intuição: se p=1 a integral diverge (e a série \sum \dfrac{1}{n\ln n} diverge), se p=2 converge (e a série \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} converge).

Resposta

Converge absolutamente.

Exercícios relacionados