Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas importantes:
- O termo geral da série é
- A soma é tomada de
até .
Não vamos resolver ainda, só ficou claro o que é pedido e qual é a expressão dos termos.
Passo 2
Reconhecer o tipo da série: observe que
Séries cujos termos são potências de uma mesma razão são séries geométricas. Uma série geométrica padrão pode ser escrita de duas formas comuns:
No nosso caso a série está na forma (b) com
. O primeiro termo (quando
) é
.
Passo 3
Condição de convergência da série geométrica e fórmula da soma:
- Teorema: A série geométrica
converge se, e somente se, . Se converge, sua soma vale
Vou provar rapidamente essa fórmula (é útil para a prova e para entender o porquê):
Defina a soma parcial
Defina a soma parcial
Multiplicando por
temos
Portanto
Se
, então
quando
, logo o limite das somas parciais é
Se
, o termo
não tende a zero (ou diverge), então a série diverge.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: temos
. Note que
então a série geométrica converge. Usando a fórmula da soma:
Calculemos passo a passo a fração:
então
Passo 5
(Método alternativo rápido — teste da razão) Para reforçar: podemos também aplicar o teste da razão. Seja
. Então
Como esse limite é menor que
, o teste da razão garante que a série converge. Dá a mesma conclusão, como esperado.
Resposta
Converge; soma =