Questão 1. Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas importantes:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{5^{n}}.
  • A soma é tomada de n=1 até \infty.
    Não vamos resolver ainda, só ficou claro o que é pedido e qual é a expressão dos termos.

Passo 2

Reconhecer o tipo da série: observe que
\frac{1}{5^{n}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Séries cujos termos são potências de uma mesma razão são séries geométricas. Uma série geométrica padrão pode ser escrita de duas formas comuns:
\text{(a)}\quad \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}\quad\text{ou}\quad \text{(b)}\quad \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
No nosso caso a série está na forma (b) com r=\dfrac{1}{5}. O primeiro termo (quando n=1) é \left(\dfrac{1}{5}\right).

Passo 3

Condição de convergência da série geométrica e fórmula da soma:
  • Teorema: A série geométrica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Se converge, sua soma vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Vou provar rapidamente essa fórmula (é útil para a prova e para entender o porquê):
Defina a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N} r^{n} = r + r^{2} + \cdots + r^{N}.
Multiplicando por (1-r) temos
(1-r)S_N = S_N - rS_N = (r + r^{2} + \cdots + r^{N}) - (r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{N+1}) = r - r^{N+1}.
Portanto
S_N = \frac{r - r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo o limite das somas parciais é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1, o termo r^{N+1} não tende a zero (ou diverge), então a série diverge.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: temos r=\dfrac{1}{5}. Note que
\left|\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}<1,
então a série geométrica converge. Usando a fórmula da soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} = \frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}.
Calculemos passo a passo a fração:
1-\frac{1}{5}=\frac{5}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5},
então
\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.

Passo 5

(Método alternativo rápido — teste da razão) Para reforçar: podemos também aplicar o teste da razão. Seja a_n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}. Então
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n+1}}{\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}}\right| = \left|\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge. Dá a mesma conclusão, como esperado.

Resposta

Converge; soma = \dfrac{1}{4}

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