Seja u(x, y) uma função harmônica em um domínio D. Dizemos que v(x, y) é um conjugado harmônico de u(x, y) se a função complexa
f(z)=u(x, y)+i v(x, y)
é diferenciável. Prove que, se v(x, y) e w(x, y) são ambos conjugados harmônicos de u(x, y) em D, então eles diferem por uma constante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dado u(x,y) uma função harmônica em um domínio D.
  • Duas funções reais v(x,y) e w(x,y) são ambas conjugadas harmônicas de u em D. Ou seja, as funções complexas
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
e
g(z)=u(x,y)+i\,w(x,y)
são diferenciáveis (holomorfas) em D.
  • Quero provar que v e w diferem por uma constante em D; isto é, existe constante real C tal que
v(x,y)=w(x,y)+C\quad\text{em }D.

Passo 2

Primeiro explico uma ferramenta fundamental: o que significa uma função complexa F(z)=U(x,y)+iV(x,y) ser diferenciável (holomorfa). Isso implica que as derivadas parciais de U e V existem e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (CR):
U_x = V_y,\qquad U_y = -V_x.
Aqui U_x denota a derivada parcial de U em relação a x e U_y a derivada parcial em relação a y; V_x,V_y são definidas analogamente. Essas equações aparecem ao identificar a derivada complexa a partir do limite em direções diferentes — não preciso provar isso agora, só uso como fato conhecido.
No nosso caso, aplicamos CR com U=u e V=v para f, e com U=u e V=w para g. Assim temos dois conjuntos de equações CR válidos em todo D.

Passo 3

Escrevo explicitamente as equações de Cauchy–Riemann para v e para w.
Para f=u+i v (ou seja, v conjugada de u) temos
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Para g=u+i w (ou seja, w também conjugada de u) temos
u_x = w_y,\qquad u_y = -w_x.
Agora subtraio as equações correspondentes (a primeira da primeira com a primeira da segunda, e a segunda da primeira com a segunda da segunda). Defina a função \varphi(x,y)=v(x,y)-w(x,y). Subtraindo as igualdades u_x = v_y e u_x = w_y obtenho
v_y - w_y = 0 \quad\Rightarrow\quad \phi_y = 0.
Subtraindo u_y = -v_x e u_y = -w_x obtenho
-v_x - (-w_x) = 0 \quad\Rightarrow\quad v_x - w_x = 0 \quad\Rightarrow\quad \phi_x = 0.
Portanto encontramos
\phi_x(x,y)=0\quad\text{e}\quad \phi_y(x,y)=0\qquad\text{em todo }D.

Passo 4

Interpretando as igualdades \phi_x=0 e \phi_y=0: elas dizem que todas as derivadas parciais de \varphi são nulas em D. Se todas as derivadas parciais de uma função C^1 são zero em um domínio conexo, então a função é constante nesse domínio. Mais precisamente, para qualquer ponto p\in D e qualquer caminho contínuo dentro de D ligando p a outro ponto q\in D, a variação de \varphi ao longo do caminho é dada pela integral das derivadas parciais; como essas derivadas são zero, a integral é zero e \varphi(q)=\varphi(p). A hipótese de que D é um domínio (abre e conectado) garante que qualquer dois pontos podem ser ligados por tal caminho, logo \varphi é constante em todo D.
Observação rápida: se D não fosse conectado, cada componente conexa poderia ter uma constante diferente; por isso usamos que D é domínio.

Passo 5

Concluímos que existe constante real C tal que
\varphi(x,y)=v(x,y)-w(x,y)=C\quad\text{para todo }(x,y)\in D.
Ou seja,
v(x,y)=w(x,y)+C\quad\text{em }D.
Para fixar a intuição, um exemplo simples: se u(x,y)=x então as equações CR levam a v_y=1 e v_x=0, daí v(x,y)=y+C; qualquer conjugado difere por uma constante.

Resposta

v(x,y)=w(x,y)+C, para alguma constante real C.

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