Seja
uma função harmônica em um domínio
. Dizemos que
é um conjugado harmônico de
se a função complexa
é diferenciável. Prove que, se
e
são ambos conjugados harmônicos de
em
, então eles diferem por uma constante.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dado
uma função harmônica em um domínio . - Duas funções reais
e são ambas conjugadas harmônicas de em . Ou seja, as funções complexas
e
são diferenciáveis (holomorfas) em
.
- Quero provar que
e diferem por uma constante em ; isto é, existe constante real tal que
Passo 2
Primeiro explico uma ferramenta fundamental: o que significa uma função complexa
ser diferenciável (holomorfa). Isso implica que as derivadas parciais de
e
existem e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (CR):
Aqui
denota a derivada parcial de
em relação a
e
a derivada parcial em relação a
;
são definidas analogamente. Essas equações aparecem ao identificar a derivada complexa a partir do limite em direções diferentes — não preciso provar isso agora, só uso como fato conhecido.
No nosso caso, aplicamos CR com
e
para
, e com
e
para
. Assim temos dois conjuntos de equações CR válidos em todo
.
Passo 3
Escrevo explicitamente as equações de Cauchy–Riemann para
e para
.
Para
(ou seja,
conjugada de
) temos
Para
(ou seja,
também conjugada de
) temos
Agora subtraio as equações correspondentes (a primeira da primeira com a primeira da segunda, e a segunda da primeira com a segunda da segunda). Defina a função
. Subtraindo as igualdades
e
obtenho
Subtraindo
e
obtenho
Portanto encontramos
Passo 4
Interpretando as igualdades
e
: elas dizem que todas as derivadas parciais de
são nulas em
. Se todas as derivadas parciais de uma função
são zero em um domínio conexo, então a função é constante nesse domínio. Mais precisamente, para qualquer ponto
e qualquer caminho contínuo dentro de
ligando
a outro ponto
, a variação de
ao longo do caminho é dada pela integral das derivadas parciais; como essas derivadas são zero, a integral é zero e
. A hipótese de que
é um domínio (abre e conectado) garante que qualquer dois pontos podem ser ligados por tal caminho, logo
é constante em todo
.
Observação rápida: se
não fosse conectado, cada componente conexa poderia ter uma constante diferente; por isso usamos que
é domínio.
Passo 5
Concluímos que existe constante real
tal que
Ou seja,
Para fixar a intuição, um exemplo simples: se
então as equações CR levam a
e
, daí
; qualquer conjugado difere por uma constante.