Questão C. (3-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
a) \vec{u}=2 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}+\vec{k}, \vec{v}=\vec{\imath}-\vec{\jmath}+4 \vec{k}, \vec{w}=\vec{\jmath}-\vec{k}
b) \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}, \vec{v}=2 \vec{\imath}-\vec{\jmath}+5 \vec{k}, \vec{w}=-\vec{\imath}+2 \vec{k}
Mostre que:
\|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\|=\langle\vec{u} \times \vec{v}, \vec{w}\rangle
Conclua que \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3-paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Calcular \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} nos casos (a) e (b).
  • Mostrar a relação \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle.
  • Concluir que \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| representa o volume (em valor absoluto) do 3-paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Informações dadas (pegas diretamente do enunciado):
  • Em (a): \vec{u}=2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+\vec{k}, \vec{v}=\vec{\imath}-\vec{\jmath}+4\vec{k}, \vec{w}=\vec{\jmath}-\vec{k}.
    Portanto as componentes são \vec{u}=(2,4,1),\qquad \vec{v}=(1,-1,4),\qquad \vec{w}=(0,1,-1).
  • Em (b): \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}, \vec{v}=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+5\vec{k}, \vec{w}=-\vec{\imath}+2\vec{k}.
    Portanto as componentes são \vec{u}=(1,1,1),\qquad \vec{v}=(2,-1,5),\qquad \vec{w}=(-1,0,2).
  • Definição que usaremos: \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=\det\!\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\[2pt] b_1&b_2&b_3\\[2pt] c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Pequena lição: como calcular o determinante 3\times3 que aparece na definição.
  • Para a matriz A=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\[2pt] y_1 & y_2 & y_3\\[2pt] z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix}uma forma prática (expansão pela primeira linha) é \det(A)=x_1\det\!\begin{pmatrix}y_2&y_3\\[2pt] z_2&z_3\end{pmatrix} -x_2\det\!\begin{pmatrix}y_1&y_3\\[2pt] z_1&z_3\end{pmatrix} +x_3\det\!\begin{pmatrix}y_1&y_2\\[2pt] z_1&z_2\end{pmatrix}.Aqui cada determinante 2\times2 é \det\!\begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix}=ps-qr.
  • Vou aplicar isso passo a passo nos dois itens.]

Passo 3

Cálculo do caso (a). Montamos a matriz com as linhas \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
M_a=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\[2pt] 1 & -1 & 4\\[2pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det(M_a)=2\det\!\begin{pmatrix}-1&4\\[2pt]1&-1\end{pmatrix} -4\det\!\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]0&-1\end{pmatrix} +1\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Calculemos cada 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}-1&4\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-4\cdot1=1-4=-3,
\det\!\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]0&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-4\cdot0=-1,
\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot0=1.
Substituindo:
\det(M_a)=2\cdot(-3)-4\cdot(-1)+1\cdot1=-6+4+1=-1.
Portanto, pela definição,
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=\det(M_a)\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} =-1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Observação: o valor escalar -1 é o determinante; o fator \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} é a “base” do 3-paralelogramo canônico.]

Passo 4

Cálculo do caso (b). Montamos a matriz com as linhas \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
M_b=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[2pt] 2 & -1 & 5\\[2pt] -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(M_b)=1\det\!\begin{pmatrix}-1&5\\[2pt]0&2\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}2&5\\[2pt]-1&2\end{pmatrix} +1\det\!\begin{pmatrix}2&-1\\[2pt]-1&0\end{pmatrix}.
Calculemos cada 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}-1&5\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=(-1)\cdot2-5\cdot0=-2,
\det\!\begin{pmatrix}2&5\\[2pt]-1&2\end{pmatrix}=2\cdot2-5\cdot(-1)=4+5=9,
\det\!\begin{pmatrix}2&-1\\[2pt]-1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-(-1)\cdot(-1)=0-1=-1.
Substituindo:
\det(M_b)=1\cdot(-2)-1\cdot9+1\cdot(-1)=-2-9-1=-12.
Portanto
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=-12\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.]

Passo 5

Mini-aula sobre produto vetorial e produto escalar triple (produto escalar triplo).
  • Definição do produto vetorial: para \vec{u}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{v}=(b_1,b_2,b_3) tem-se \vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\[4pt] a_3b_1-a_1b_3\\[4pt] a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}.Isto vem da expressão determinantal \vec{u}\times\vec{v}=\det\!\begin{pmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\[2pt] a_1 & a_2 & a_3\\[2pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix},que significa calcular os cofatores associando cada componente à base.
  • Produto escalar triplo: para quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w}, \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangleé um número (escalar). Uma propriedade conhecida e fácil de verificar pela definição componente a componente é que esse escalar é exatamente o determinante formado pelas componentes: \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle =\det\!\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[2pt] b_1 & b_2 & b_3\\[2pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.A razão prática: multiplicando a componente i-ésima de \vec{u}\times\vec{v} pela componente i-ésima de \vec{w} e somando obtém-se exatamente a expansão do determinante.]

Passo 6

Prova direta da relação pedida. Começando da definição:
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} =\det\!\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[2pt] b_1 & b_2 & b_3\\[2pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Pela mini-aula, o produto escalar triplo satisfaz
\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle =\det\!\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[2pt] b_1 & b_2 & b_3\\[2pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.
Além disso, o “tamanho” (norma) da base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} é 1 (é o 3-paralelogramo canônico de volume 1), logo
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| =\left|\det\!\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[2pt] b_1 & b_2 & b_3\\[2pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\right|.
Se, como no enunciado, interpretarmos a norma \|\cdot\| do 3-vetor como o escalar correspondente (com sinal orientado quando conveniente), obtemos a igualdade sem o valor absoluto:
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| =\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle.
(Nota didática: a igualdade acima usa a convenção de sinal da orientação da base; em termos de volume geométrico físico, toma-se o valor absoluto do lado direito.)]

Passo 7

Interpretação geométrica (como usar isso na prova):
  • \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Isso vem da definição geométrica do produto vetorial: seu módulo é |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta, que é exatamente a área do paralelogramo base.
  • \langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle é a área da base vezes a componente de \vec{w} na direção normal à base, isto é, é a área da base multiplicada pela altura projetada — portanto é o volume orientado do 3-paralelogramo.
  • Tomando valor absoluto, |\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle| dá o volume (não orientado) do 3-paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Resposta

(a) -1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}
(b) -12\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle
O volume do 3-paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é \bigl|\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle\bigr|.

Exercícios relacionados