Questão 4. A vida útil
(em horas) de um modelo de lâmpada LED é aproximadamente normal, com
O fabricante oferece garantia, devolvendo o dinheiro para lâmpadas que queimarem antes do fim da garantia.
(a) Se a garantia é de 15000 horas, qual a probabilidade de uma lâmpada queimar dentro da garantia?
(b) O fabricante deseja escolher um tempo de garantia
de modo que apenas
das lâmpadas queimem antes desse tempo. Qual deve ser aproximadamente o valor de
?
(a) Se a garantia é de 15000 horas, qual a probabilidade de uma lâmpada queimar dentro da garantia?
(b) O fabricante deseja escolher um tempo de garantia
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede.
- Dado: a vida útil
(em horas) tem distribuição aproximadamente normal com média e desvio-padrão
- O fabricante reembolsa lâmpadas que queimarem antes do fim da garantia.
Perguntas:
(a) Se a garantia é de horas, qual a probabilidade de uma lâmpada queimar dentro da garantia?
(b) O fabricante quer escolher um tempo de garantia tal que apenas
das lâmpadas queimem antes desse tempo. Qual deve ser aproximadamente o valor de
?
(a) Se a garantia é de
(b) O fabricante quer escolher um tempo de garantia
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
- A variável
é normal com média e desvio-padrão . A média é o “centro” da distribuição (valor esperado) e mede a dispersão (quanto os valores variam em torno da média). - Para calcular probabilidades de
usamos a padronização: transformar numa normal padrão com média e desvio . A fórmula é
Aqui
é a variável normal padrão. Essa transformação é útil porque tabelas e funções conhecidas (a função de distribuição acumulada da normal padrão) podem ser consultadas para
.
- Denotamos por
a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja . - Propriedade útil (simetria):
. Isso facilita calcular probabilidades para valores negativos de . - Para responder (a) usamos
. - Para (b) resolvemos
. Em termos de : . Então , onde é a função quantil (inversa de ).
Passo 3
Resolvendo (a): calcular o
-score e a probabilidade.
- Calcular o
-score correspondente a :
- Assim
Usando a simetria da normal padrão:
- Agora precisamos de
. Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística: costuma-se ter e . Interpolando para obtemos aproximadamente . - Portanto
- Interpretação: cerca de
das lâmpadas queimam antes de horas.
Passo 4
Resolvendo (b): encontrar
tal que
.
- Escrevemos a condição em termos de
:
- Então o quantil correspondente é
- A partir de tabelas da normal padrão sabe-se que
(valor clássico para o quantil de ). - Substituindo
e :
- Calcular o produto:
então
- Interpretação: definindo a garantia em aproximadamente
horas, cerca de das lâmpadas deverão queimar antes desse tempo. (Arredondar para um número “bonito” como ou é aceitável na prática.)
Passo 5
Cheque rápido de consistência (para ficar mais confiante).
- Para
horas achamos , que é ligeiramente menor que . Faz sentido que o desejado para exatamente fique um pouco acima de , e encontramos . Tudo consistente.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b)
(b)