Perguntas:
(a) Verificar se f é uma f.d.p. válida (ou seja: não-negatividade e integral total igual a 1).
(b) Calcular P(0,5 \leq X \leq 1,5).
(c) Determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).]
Passo 2
Condição 1 para ser f.d.p.: f(x)\ge 0 para todo x.
Observe a definição por partes:
Para 0\le x\le1 tem-se f(x)=x. Como x nesse intervalo é \ge0, então f(x)\ge0 aí.
Para 1<x\le2 tem-se f(x)=2-x. Nesse intervalo 1<x\le2 implica 0\le 2-x<1, logo f(x)\ge0.
Fora de [0,2] temos f(x)=0.
Conclusão: f(x)\ge0 para todo x.
Passo 3
Condição 2 para ser f.d.p.: a integral de f em (-\infty,\infty) deve ser 1. Como f é zero fora de [0,2], basta calcular
Portanto f satisfaz as duas condições: é não-negativa e integra 1. Logo f é uma f.d.p. válida.
Passo 4
Agora (b): calcular P(0,5 \leq X \leq 1,5). Para variável contínua isso é a integral de f de 0{,}5 até 1{,}5. Como a função muda em x=1, separamos a integral:
Agora (c): determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vamos construir F peça a peça, lembrando que f é zero fora de [0,2].
Para x<0:
F(x)=0,
pois nenhuma massa está à esquerda de 0.
Para 0\le x \le 1: a integral vai de 0 até x com f(t)=t. Assim
Para 1< x \le 2: a probabilidade até x é a probabilidade até 1 mais a integral de 1 até x com f(t)=2-t. Já sabemos que \int_{0}^{1} t\,dt=\tfrac{1}{2}. Então
Em x=2: F(2)= -\tfrac{1}{2}\cdot4 + 4 -1 = -2+3=1, coincidente com F(x)=1 para x>2.
Exemplo rápido de uso: F(1{,}5)= -\tfrac{1}{2}(1{,}5)^{2}+2(1{,}5)-1 = -1{,}125 +3 -1 = 0{,}875. E F(0{,}5)=\tfrac{(0{,}5)^{2}}{2}=0{,}125. A diferença F(1{,}5)-F(0{,}5)=0{,}75=\tfrac{3}{4}, que bate com o resultado de (b).
Resposta
(a) Sim, f é uma f.d.p. válida.
(b) P(0{,}5 \le X \le 1{,}5)=\dfrac{3}{4}.