Questão 7. Considere a variável aleatória contínua X\) com f.d.p. \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & 0 \leq x \leq 3 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Determine k\]. (b) Calcule \(P(1<X<2).
(c) Encontre a f.d.a. F(x).
(d) Calcule E(X).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade contínua X\): \[f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & 0 \leq x \leq 3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) determinar k\]; (b) calcular \(P(1<X<2);
(c) encontrar a função de distribuição acumulada F(x);
(d) calcular E(X).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função f é não negativa e só pode ser diferente de zero no intervalo [0,3].
  • Para ser uma f.d.p. válida, deve valer \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • Fórmulas que vamos usar (explicadas nos próximos passos):
    • Probabilidade de um intervalo: \displaystyle P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
    • Função de distribuição acumulada: \displaystyle F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
    • Valor esperado: \displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.]

Passo 2

Determinar k pela condição de normalização.
Explicação teórica curta: para qualquer densidade de probabilidade contínua f, a integral da densidade sobre todo o espaço amostral deve ser 1. Aqui a densidade é zero fora de [0,3], portanto basta integrar em [0,3].
Montando a equação:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{3} k x^{2}\,dx = 1.
Agora calculo a integral passo a passo. A primitiva (antiderivada) de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Logo:
\int_{0}^{3} k x^{2}\,dx = k\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = k\left(\dfrac{3^{3}}{3}-0\right) = k\left(\dfrac{27}{3}\right)=9k.
Impondo 9k=1, obtemos
k=\dfrac{1}{9}.
Breve check intuitivo: k positivo e pequeno faz sentido porque x^{2} cresce até 3^{2}=9; a constante 1/9 normaliza a área.

Passo 3

Calcular P(1<X<2).
Teoria: para uma variável contínua, a probabilidade num intervalo (a,b) é a integral da densidade nesse intervalo:
P(1<X<2)=\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} k x^{2}\,dx.
Substituindo k=\dfrac{1}{9} e calculando a integral:
\int_{1}^{2} k x^{2}\,dx = k\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3}\right) = \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{8-1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{7}{27}.
Portanto P(1<X<2)=\dfrac{7}{27}.

Passo 4

Encontrar a função de distribuição acumulada [F(x)).
Definição e ideia: F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Como f(t)=0 para t<0 e para t>3 é nula também, a CDF é construída por partes:
  1. Se x<0, então F(x)=0 (não há massa de probabilidade antes de 0).
  2. Se 0\le x\le 3, então
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} k t^{2}\,dt = k\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x}=k\cdot\dfrac{x^{3}}{3}.
Substituindo k=\dfrac{1}{9}
F(x)=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{x^{3}}{27}.
  1. Se x>3, então F(x)=1 (toda a massa está acumulada até 3).
Em forma compacta:
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{x^{3}}{27}, & 0\le x\le 3,\\[6pt] 1, & x>3. \end{cases}
Observação rápida: verificar continuidade em x=3\]: \(F(3)=27/27=1, compatível.]

Passo 5

Calcular E(X).
Teoria: o valor esperado de uma variável contínua X com densidade f é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Aqui a integral reduz-se ao intervalo [0,3].
Aplicando a fórmula:
E(X)=\int_{0}^{3} x\cdot k x^{2}\,dx = k\int_{0}^{3} x^{3}\,dx.
A primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}, então
k\int_{0}^{3} x^{3}\,dx = k\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = k\cdot\dfrac{3^{4}}{4} = k\cdot\dfrac{81}{4}.
Substituindo k=\dfrac{1}{9}:
E(X)=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{81}{4}=\dfrac{81}{36}=\dfrac{9}{4}.
Em forma decimal, E(X)=\dfrac{9}{4}=2{,}25. Interpretação intuitiva: é a média ponderada dos valores de X pela densidade; como a densidade cresce com x^{2}, a média fica deslocada para a direita do meio do intervalo.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{9}\) (b) \(P(1<X<2)=\dfrac{7}{27}\) \text{(c)} \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{x^{3}}{27}, & 0\le x\le 3,\\[6pt] 1, & x>3, \end{cases}
(d) (E(X)=\dfrac{9}{4}]]

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