Questão 4: Para uma viga com seção transversal abaixo construída com um material elastoplástico perfeito cujo módulo de elasticidade é E=150 GPa e tensão de escoamento sigmaE=75 MPa, determine © o momento fletor que gera zonas plásticas de 20 mm na compressão e na tração (cada).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? Uma viga com seção retangular (“abaixo”, na figura que você tem) de base b e altura h, feita de material elastoplástico perfeito.
– Dados:
• Módulo de elasticidade:
• Tensão de escoamento:
Queremos (item c) encontrar o momento fletor que faz aparecer uma zona plástica de espessura tanto na parte de cima (compressão) quanto na de baixo (tração).
Para isso vamos usar:
  1. A distribuição de tensões fletoras numa seção elastoplástica:
    – Na região plástica: (chegou no escoamento)
    – No “miolo” elástico: , onde é a curvatura
  2. Equilíbrio de tensão (força normal zero) para ver que o eixo neutro continua no meio
  3. Condição de contorno em , onde a tensão elástica chega a
  4. Cálculo de somando parte plástica e parte elástica.

Passo 2

Defino algumas coisas em função de h e t:
– Total da altura: alpha ;=;h2;-;t l(essa é a coordenada y onde Evarphi y=sigmaEr)
– Espessura de cada zona plástica:
– Distância do eixo neutro até o “ponto de início do plástico”:
é
Na região elástica (entre e ), vale .
Mas exatamente em começamos a ter .

Passo 3

Encontro a curvatura E,varphi;alpha ;=;sigmaE Longrightarrow varphi ;=;sigmaEE,alpha pela condição de contorno elástico:

Passo 4

Momentos parciais:
  1. Nas duas zonas plásticas (compressão em cima e tração embaixo), Mrm plast =2;integraly=alpha^h/2l(sigmaEr),b,y,dy =2,sigmaE,b;[y^22]y=alpha^h/2 =sigmaE,bl[l(h/2r)^2 - alpha^2r] . Como são simétricas, podemos calcular uma e multiplicar por 2: Mrm el =integral-alpha^alpha(Evarphi,y),b,y,dy =Evarphi,bintegral-alpha^alphay^2,dy =Evarphi,bcdot2alpha^33 =23,Evarphi,b,alpha^3
  2. Na região elástica ( M =Mrm plast+Mrm el ), , então
Agora é só somar:

Passo 5

Substituo Mrm el =23,E;l(sigmaEE,alphar),b,alpha^3 =23,sigmaE,b,alpha^2 em M =sigmaE,bl[,(h/2)^2-alpha^2r] ;+;23,sigmaE,b,alpha^2 =sigmaE,bl[h^24-alpha^2+23,alpha^2r] =sigmaE,bl[h^24-13,alpha^2r] :
M =53;sigmaE;b;l(tfrac h2 - tr)^2
E então
Mas lembrando que , dá pra arrumar em forma bem conhecida:

Resposta

O momento fletor que gera zonas plásticas de espessura boxed% M ;=;53;sigmaE;b; l(h2-20 mmr)^2 l[com sigmaE=75 MPar] ,mm em cima e embaixo é
Basta agora substituir na fórmula o valor da base e da altura da seção que estão na figura do enunciado.

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