Questão 7

Como visto em aula, a descrição do pêndulo físico é feita em termos de IO, o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação. Sendo M a massa do objeto, e d a separação entre o eixo de rotação e o eixo que passa pelo centro de massa do objeto, temos 10=I C M+M d^{2}, pelo teorema dos eixos paralelos. Para um objeto homogêneo, podemos escrever o momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa de uma maneira compacta e genérica, \mathrm{ICM}=\mathrm{M} k^{2}, em que k é chamado de braço de giro. Exemplos:
para um disco (ou cilindro) homogêneo, \mathrm{ICM}=\left(\mathrm{MR}^{2} / 2\right.
portanto, k=R / \sqrt{ } 2
para uma esfera homogênea, \mathrm{ICM}=\left(2 \mathrm{M} R^{2} / 5\right.,
portanto, k=R \sqrt{ } 2 / 5
Em termos do braço de giro, mostre que o período de oscilação de um pêndulo físico formado por um objeto homogêneo não depende de sua massa.
Para um disco homogêneo como pêndulo físico, com eixo de rotação bem próximo de sua borda, qual é a expressão para o respectivo período?
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 3 \mathrm{R} / 5 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 5 \mathrm{R} / 2 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } \mathrm{R} / 2 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 2 \mathrm{R} / \mathrm{g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 5 \mathrm{R} / 3 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 2 \mathrm{R} / 5 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 3 \mathrm{R} / 2 \mathrm{~g}.
\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{ } 2 \mathrm{R} / 3 \mathrm{~g}.

Passo 1

O enunciado trata do pêndulo físico, cujo período de pequenas oscilações é dado por
T = 2\pi \sqrt{\frac{I_O}{Mgd}},
onde I_O é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação, M a massa do objeto, g a aceleração da gravidade e d a distância entre esse eixo e o centro de massa. Vamos usar o teorema dos eixos paralelos e a definição do braço de giro k para mostrar que T não depende de M e, em seguida, aplicar ao disco homogêneo com eixo próximo da borda.

Passo 2

Pelo teorema dos eixos paralelos,
I_O = I_{\mathrm{CM}} + M d^2,
e para um corpo homogêneo definimos
I_{\mathrm{CM}} = M k^2.
Logo
I_O = M k^2 + M d^2 = M\bigl(k^2 + d^2\bigr).

Passo 3

Substituindo I_O na fórmula de T,
T = 2\pi \sqrt{\frac{M\bigl(k^2 + d^2\bigr)}{M g d}} =2\pi \sqrt{\frac{k^2 + d^2}{g\,d}}.
Como M cancela, o período não depende da massa do objeto, apenas de k, d e g.

Passo 4

Para o disco homogêneo temos
I_{\mathrm{CM}} = \frac{1}{2}M R^2 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = \frac{R^2}{2}.
Com o eixo de rotação a uma distância d=R da borda,
k^2 + d^2 = \frac{R^2}{2} + R^2 = \frac{3R^2}{2}.
Substituindo em T,
T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3R^2}{2}}{g\,R}} =2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}.

Resposta

A expressão correta para o período do disco homogêneo é
T = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}.
Essa alternativa corresponde a
T = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}.

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