Questão 10

A equação m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=0 é obtida quando se aplica a segunda lei de Newton a um corpo em movimento unidimensional sob a ação de duas forças, uma força restauradora e uma força de atrito viscoso. O movimento do corpo, nessa situação, é conhecido como movimento harmônico amortecido. Assinale a afirmativa correta.

Escolha uma opção:

  1. Essa é uma equação geral, válida para qualquer tipo de força de atrito, desde que a força restauradora que atua no corpo de massa m obedeça à lei de Hooke.
  2. Essa equação descreve apenas os sistemas para os quais
  • a força de atrito viscoso se opõe ao movimento e é proporcional ao quadrado da magnitude da velocidade, isso é, F_{a t}=-b \vec{v};
  • a força restauradora obedece à lei de Hooke.
  1. Essa equação descreve apenas os sistemas para os quais a força de atrito viscoso, que se opõe ao movimento, depende só da magnitude da velocidade, independentemente da forma dessa dependência e independentemente do tipo de força restauradora.
  2. Essa equação descreve apenas os sistemas para os quais
  • a força de atrito viscoso se opõe ao movimento e é proporcional à magnitude da velocidade, isto é, \mathrm{F}_{a t}=-\mathrm{b} \overrightarrow{\mathrm{v}};
  • a força restauradora obedece à lei de Hooke.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação do movimento harmônico amortecido
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0
obtida aplicando a segunda lei de Newton a um corpo de massa m sob duas forças: uma força restauradora e uma força de atrito viscoso. O conteúdo é Dinâmica (Leis de Newton) e Movimentos oscilatórios com amortecimento. Para resolver vamos analisar quais hipóteses sobre as forças levam a essa equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 2

Segundo a segunda lei de Newton temos
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \sum F.
No caso, somamos a força restauradora F_{\text{rest}} = -\,k\,x (lei de Hooke) e a força de atrito viscoso F_{\text{at}}.

Passo 3

Para que o termo b\,\tfrac{dx}{dt} apareça, a força de atrito deve ser proporcional à velocidade (modelo de amortecimento viscoso linear), ou seja
F_{\text{at}} = -\,b\,\frac{dx}{dt}.
Se a dependência fosse de outra forma (por exemplo ao quadrado da velocidade) ou se a força restauradora não fosse linear em x, a equação diferencial resultante seria não linear ou de outra forma, não coincidente com a dada.

Passo 4

Analisando as opções:
  • Opção 1 afirma validade para qualquer tipo de atrito: incorreto, pois só vale se o atrito for linear em v.
  • Opção 2 confunde atrito proporcional ao quadrado da velocidade com o termo linear em \tfrac{dx}{dt}: incorreto, pois aí surgiria um termo \propto (\dot x)^2, não \dot x.
  • Opção 3 diz que a forma da dependência do atrito não importa: incorreto, pois a equação é linear e exige F_{\text{at}}\propto v.
  • Opção 4 estabelece exatamente que
F_{\text{at}} = -\,b\,\overrightarrow v \quad\text{e}\quad F_{\text{rest}} = -\,k\,x,
o que gera a equação dada.

Resposta

  1. Essa equação descreve apenas os sistemas para os quais
  • a força de atrito viscoso se opõe ao movimento e é proporcional à magnitude da velocidade, isto é, \displaystyle F_{at}=-b\,\vec v;
  • a força restauradora obedece à lei de Hooke.

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