Questão 1. A posição de uma partícula em movimento retilíneo, em função do tempo t (em segundos), é dada por
s(t)=3 t^{2}+2 t \quad(\text { em metros }) .
a) Calcule a taxa média de variação da posição entre t=1 e t=4.
b) Determine a taxa de variação instantânea da posição no instante t=2.

Passo 1

O enunciado dá a posição s de uma partícula em função do tempo t:
s(t)=3 t^{2}+2 t\quad(\text{metros}),\qquad t\\ (\text{segundos}).
Perguntas:
a) Calcular a taxa média de variação da posição entre t=1 e t=4.
b) Determinar a taxa de variação instantânea da posição no instante t=2.

Passo 2

Entendendo o que é a taxa média de variação (a): a taxa média de variação de s entre dois tempos t_1 e t_2 é a razão do incremento de s pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
\text{taxa média}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}.é
Geometricamente é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos \big(t_1,s(t_1)\big) e \big(t_2,s(t_2)\big). No contexto de movimento retilíneo, essa razão é a velocidade média no intervalo.

Passo 3

Aplicando a fórmula com t_1=1 e t_2=4. Primeiro calculo os valores de s nos extremos:
s(1)=3\cdot(1)^{2}+2\cdot(1)=3+2=5\quad(\text{m}),
s(4)=3\cdot(4)^{2}+2\cdot(4)=3\cdot16+8=48+8=56\quad(\text{m}).
Agora a taxa média:
\frac{s(4)-s(1)}{4-1}=\frac{56-5}{3}=\frac{51}{3}=17.
Interpretação: a velocidade média entre t=1 e t=4 é 17 metros por segundo.

Passo 4

Agora a parte (b): o que é a taxa de variação instantânea? É a velocidade num instante preciso, que correspondendo à inclinação da reta tangente ao gráfico de s(t) no ponto considerado. A definição (mais básica) é através do limite do quociente incremental:
s'(a)=\lim_{h\to0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h},
onde s'(a) é a taxa de variação instantânea (derivada) no instante t=a.

Passo 5

Vou calcular s'(2) usando a definição de limite. Primeiro avalio s(2) e s(2+h).
s(2)=3\cdot(2)^{2}+2\cdot2=3\cdot4+4=12+4=16.
Expandindo s(2+h):
s(2+h)=3(2+h)^{2}+2(2+h).
Desenvolvendo (2+h)^{2}=4+4h+h^{2}, obtemos
s(2+h)=3(4+4h+h^{2})+4+2h=12+12h+3h^{2}+4+2h=16+14h+3h^{2}.

Passo 6

Formo o quociente incremental e simplifico:
\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{(16+14h+3h^{2})-16}{h}=\frac{14h+3h^{2}}{h}=14+3h.
Agora aplico o limite quando h\to0:
s'(2)=\lim_{h\to0}(14+3h)=14.
Portanto a taxa de variação instantânea (velocidade instantânea) no instante t=2 é 14 metros por segundo.

Passo 7

Breve comentário didático extra (útil na prova): existe uma regra rápida para derivar polinômios. Se s(t)=3t^{2}+2t, então, usando a regra do poder, a derivada é
s'(t)=6t+2,
e avaliando em t=2 obtém-se s'(2)=6\cdot2+2=12+2=14, confirmação do resultado obtido pelo limite. A ideia é a mesma mostrada passo a passo acima, só que mais direta.

Resposta

(a) 17\\ \text{m/s}
(b) 14\\ \text{m/s}

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