Questão 1. A posição de uma partícula em movimento retilíneo, em função do tempo
(em segundos), é dada por
a) Calcule a taxa média de variação da posição entre
e
.
b) Determine a taxa de variação instantânea da posição no instante
.
b) Determine a taxa de variação instantânea da posição no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição
de uma partícula em função do tempo
:
Perguntas:
a) Calcular a taxa média de variação da posição entre e
.
b) Determinar a taxa de variação instantânea da posição no instante .
a) Calcular a taxa média de variação da posição entre
b) Determinar a taxa de variação instantânea da posição no instante
Passo 2
Entendendo o que é a taxa média de variação (a): a taxa média de variação de
entre dois tempos
e
é a razão do incremento de
pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
Geometricamente é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos
e
. No contexto de movimento retilíneo, essa razão é a velocidade média no intervalo.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
. Primeiro calculo os valores de
nos extremos:
Agora a taxa média:
Interpretação: a velocidade média entre
e
é
metros por segundo.
Passo 4
Agora a parte (b): o que é a taxa de variação instantânea? É a velocidade num instante preciso, que correspondendo à inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto considerado. A definição (mais básica) é através do limite do quociente incremental:
onde
é a taxa de variação instantânea (derivada) no instante
.
Passo 5
Vou calcular
usando a definição de limite. Primeiro avalio
e
.
Expandindo
:
Desenvolvendo
, obtemos
Passo 6
Formo o quociente incremental e simplifico:
Agora aplico o limite quando
:
Portanto a taxa de variação instantânea (velocidade instantânea) no instante
é
metros por segundo.
Passo 7
Breve comentário didático extra (útil na prova): existe uma regra rápida para derivar polinômios. Se
, então, usando a regra do poder, a derivada é
e avaliando em
obtém-se
, confirmação do resultado obtido pelo limite. A ideia é a mesma mostrada passo a passo acima, só que mais direta.
Resposta
(a)
(b)
(b)