Utilize variação de parâmetro para resolver as EDOs
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}= csct.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}=\csc t,
isto é, encontrar a solução geral y(t) para t em que \sin t\neq0 (pois \csc t só está definida aí). As informações dadas são apenas a própria EDO e o termo não-homogêneo \csc t. A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}-r^{2}=r^{2}(r-1)=0,
cujas raízes são r=0 (com multiplicidade 2) e r=1. Portanto um sistema fundamental de soluções da homogênea é
y_{1}(t)=1,\qquad y_{2}(t)=t,\qquad y_{3}(t)=e^{t}.
Explicando rápido: a raiz r=0 de multiplicidade 2 gera as duas soluções independentes 1 e t; a raiz r=1 gera e^{t}. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot t + C_{3}\cdot e^{t}.

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros (para ordem 3\)). A ideia é buscar uma solução particular da forma \[y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+u_{3}(t)y_{3}(t),
ou seja
y_{p}(t)=u_{1}(t)\cdot 1 + u_{2}(t)\cdot t + u_{3}(t)\cdot e^{t},
onde as funções u_{1},u_{2},u_{3} são desconhecidas. Para tornar o sistema resolvível impomos as três restrições padrão (para evitar derivadas de ordem superior de u_i):
\begin{cases} u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)+u_{3}'(t)y_{3}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)+u_{3}'(t)y_{3}'(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}''(t)+u_{2}'(t)y_{2}''(t)+u_{3}'(t)y_{3}''(t)=\csc t. \end{cases}
Isso é a forma padrão do método de variação de parâmetros para uma EDO linear de terceira ordem com coeficiente líder (1].]

Passo 4

Calculamos as derivadas das soluções fundamentais:
y_{1}=1,\; y_{1}'=0,\; y_{1}''=0; \qquad y_{2}=t,\; y_{2}'=1,\; y_{2}''=0; \qquad y_{3}=e^{t},\; y_{3}'=e^{t},\; y_{3}''=e^{t}.
Substituindo essas expressões no sistema imposto em \#\)Passo 3 obtemos: \[\begin{cases} u_{1}'+t\,u_{2}'+e^{t}u_{3}'=0,\\[4pt] 0\cdot u_{1}'+1\cdot u_{2}'+e^{t}u_{3}'=0,\\[4pt] 0\cdot u_{1}'+0\cdot u_{2}'+e^{t}u_{3}'=\csc t. \end{cases}
A terceira equação dá imediatamente
e^{t}u_{3}'=\csc t \quad\Rightarrow\quad u_{3}'=e^{-t}\csc t.
Usando a segunda equação:
u_{2}'+e^{t}u_{3}'=0 \quad\Rightarrow\quad u_{2}' + e^{t}\bigl(e^{-t}\csc t\bigr)=0
ou seja
u_{2}'=-\csc t.
Finalmente, pela primeira equação:
u_{1}'+t\,u_{2}'+e^{t}u_{3}'=0
substituindo u_{2}'\] e \(u_{3}' obtemos
u_{1}' + t(-\csc t) + e^{t}\bigl(e^{-t}\csc t\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad u_{1}'+\csc t(1-t)=0,
ou seja
u_{1}'=\csc t\,(t-1).]

Passo 5

Agora integramos as derivadas u_{i}'. As constantes de integração podem ser tomadas nulas porque qualquer constante em u_{i} gera um termo que já está na solução homogênea e portanto pode ser absorvido nos C_{1},C_{2},C_{3}. Assim escolhemos as primitivas sem constantes:
u_{3}(t)=\int e^{-t}\csc t\,dt, \qquad u_{2}(t)=\int -\csc t\,dt = -\int \csc t\,dt, \qquad u_{1}(t)=\int \csc t\,(t-1)\,dt.
Recordando a primitiva conhecida \int \csc t\,dt=\ln\left|\tan\frac{t}{2}\right|, podemos escrever pelo menos u_{2} explicitamente:
u_{2}(t)=-\ln\left|\tan\frac{t}{2}\right|.
As outras duas integrais não simplificam para funções elementares elementares mais simples (podem ficar representadas como integrais), então mantemos-as na forma integral:
u_{1}(t)=\int (t-1)\csc t\,dt,\qquad u_{3}(t)=\int e^{-t}\csc t\,dt.

Passo 6

A solução particular é
y_{p}(t)=u_{1}(t)\cdot 1 + u_{2}(t)\cdot t + u_{3}(t)\cdot e^{t}.
Substituindo as primitivas encontramos (escrevendo explicitamente \int\csc t\,dt quando útil):
y_{p}(t)=\int (t-1)\csc t\,dt \;-\; t\!\int \csc t\,dt \;+\; e^{t}\!\int e^{-t}\csc t\,dt.
Portanto a solução geral da EDO é a soma da homogênea com essa particular:
y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{t} \;+\; \int (t-1)\csc t\,dt \;-\; t\!\int \csc t\,dt \;+\; e^{t}\!\int e^{-t}\csc t\,dt,
onde as integrais indicadas são primitivas (em particular \int \csc t\,dt=\ln\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|) e os C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}t+C_{3}e^{t} \;+\; \int (t-1)\csc t\,dt \;-\; t\!\int \csc t\,dt \;+\; e^{t}\!\int e^{-t}\csc t\,dt.

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