Questão 5. Para as equações paramétricas
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e
e pede para calcular
.
Informações dadas:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
em função de (e, se for útil, também expressar em termos de e ).
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Quando
e
são dadas como funções de um parâmetro
, a taxa de variação de
em relação a
pode ser obtida pela razão entre as derivadas em relação a
. Ou seja,
desde que
.
Explicação do porquê: por regra da cadeia,
. Isolando
obtemos a fórmula acima. Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
em função de
.
Derivadas trigonométricas básicas que usamos:
-
. -
.
Aplicando isso às funções dadas:
Passo 4
Substituir as derivadas na fórmula
e simplificar.
Substituindo:
Reconhecendo a função cotangente, podemos escrever:
Passo 5
Expressar a derivada em termos de
e
(útil durante provas quando o enunciado pede relação entre
e
).
Como
e
, substituímos:
Observação importante sobre domínio: a fórmula
(ou
) exige
(ou
), pois quando
temos
e a razão não está definida (esses pontos correspondem a tangentes verticais no círculo unitário, por exemplo em
).
Passo 6
Verificação com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança:
Se
então
. Assim
ou usando
:
. Faz sentido e confirma o cálculo.