Questão 5. Para as equações paramétricas x=\cos (t), y=\sin (t), calcule \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas x=\cos(t) e y=\sin(t) e pede para calcular \frac{dy}{dx}.
Informações dadas:
  • x=\cos(t).
  • y=\sin(t).
O que é pedido:
  • Calcular \frac{dy}{dx} em função de t (e, se for útil, também expressar em termos de x e y).

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Quando x e y são dadas como funções de um parâmetro t, a taxa de variação de y em relação a x pode ser obtida pela razão entre as derivadas em relação a t. Ou seja,
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}},
desde que \frac{dx}{dt}\neq 0.
Explicação do porquê: por regra da cadeia, \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}. Isolando \frac{dy}{dx} obtemos a fórmula acima. Aqui \frac{dy}{dt} é a derivada de y em relação a t e \frac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em função de t.
Derivadas trigonométricas básicas que usamos:
  • \frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t.
  • \frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t.
Aplicando isso às funções dadas:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t.

Passo 4

Substituir as derivadas na fórmula \frac{dy}{dx}=\frac{(dy/dt)}{(dx/dt)} e simplificar.
Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}.
Reconhecendo a função cotangente, podemos escrever:
\frac{dy}{dx}=-\cot t.

Passo 5

Expressar a derivada em termos de x e y (útil durante provas quando o enunciado pede relação entre x e y).
Como x=\cos t e y=\sin t, substituímos:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\frac{x}{y}.
Observação importante sobre domínio: a fórmula \frac{dy}{dx}=-\cot t (ou -\frac{x}{y}) exige \sin t\neq 0 (ou y\neq 0), pois quando \sin t=0 temos \frac{dx}{dt}=0 e a razão não está definida (esses pontos correspondem a tangentes verticais no círculo unitário, por exemplo em t=0,\pi,\ldots).

Passo 6

Verificação com um exemplo numérico rápido para ganhar confiança:
Se t=\frac{\pi}{4} então \cos t=\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-1,
ou usando x,y: -\frac{x}{y}=-1. Faz sentido e confirma o cálculo.

Resposta

-\cot t
-\dfrac{x}{y}

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