- Seja um sistema LCIT com resposta ao impulso definida por
. Determine a função de transferência do sistema e obtenha a resposta de estado zero devido a entrada
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a função de transferência do sistema, dado que a resposta ao impulso é
. - Obter a resposta de estado zero (zero-state response) do sistema quando a entrada é
.
Informações fornecidas:
- A resposta ao impulso é
. - A entrada é
.
Passo 2
Relação básica usada: para um sistema LTI causal, a função de transferência
é a transformada de Laplace da resposta ao impulso
,
Recordando duas transformadas úteis (válidas para as regiões de convergência habituais):
-
. Isso vem da definição da transformada de Laplace aplicada à delta de Dirac. -
para . Aqui é constante real.
Aplicando essas fórmulas a
:
Passo 3
Faço a simplificação algébrica de
:
Portanto a função de transferência do sistema é
.
Passo 4
Agora calculo a resposta de estado zero. Dois métodos possíveis: convolução
ou domínio de Laplace usando
. Vou usar Laplace por ser mais direto aqui.
Primeiro obtenho a transformada de Laplace da entrada
:
Passo 5
Calculo
:
Para voltar ao domínio do tempo faço frações parciais. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Determino
e
substituindo valores convenientes:
- Para
: . - Para
: .
Logo
Passo 6
Faço a transformada inversa termo a termo usando
:
Posso escrever compactamente