1. Seja um sistema LCIT com resposta ao impulso definida por h(t)=\delta(t)-2 e^{-t} u(t). Determine a função de transferência do sistema e obtenha a resposta de estado zero devido a entrada x(t)=2 e^{-2 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a função de transferência do sistema, dado que a resposta ao impulso é h(t)=\delta(t)-2 e^{-t} u(t).
  • Obter a resposta de estado zero (zero-state response) do sistema quando a entrada é x(t)=2 e^{-2 t} u(t).
Informações fornecidas:
  • A resposta ao impulso é \;h(t)=\delta(t)-2 e^{-t} u(t).
  • A entrada é \;x(t)=2 e^{-2 t} u(t).

Passo 2

Relação básica usada: para um sistema LTI causal, a função de transferência \;H(s) é a transformada de Laplace da resposta ao impulso \;h(t),
H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}.
Recordando duas transformadas úteis (válidas para as regiões de convergência habituais):
  • \displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1. Isso vem da definição da transformada de Laplace aplicada à delta de Dirac.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\frac{1}{s+a} para \Re(s)>-a. Aqui a é constante real.
Aplicando essas fórmulas a \;h(t)=\delta(t)-2 e^{-t} u(t):
H(s)=\mathcal{L}\{\delta(t)\}-2\mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\}=1-2\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 3

Faço a simplificação algébrica de H(s):
H(s)=1-\frac{2}{s+1}=\frac{(s+1)-2}{s+1}=\frac{s-1}{s+1}.
Portanto a função de transferência do sistema é \displaystyle H(s)=\frac{s-1}{s+1}.

Passo 4

Agora calculo a resposta de estado zero. Dois métodos possíveis: convolução y(t)=h(t)*x(t) ou domínio de Laplace usando Y(s)=H(s)X(s). Vou usar Laplace por ser mais direto aqui.
Primeiro obtenho a transformada de Laplace da entrada \;x(t)=2 e^{-2t} u(t):
X(s)=\mathcal{L}\{2 e^{-2t}u(t)\}=2\cdot\frac{1}{s+2}=\frac{2}{s+2}.

Passo 5

Calculo Y(s)=H(s)X(s):
Y(s)=\frac{s-1}{s+1}\cdot\frac{2}{s+2}=\frac{2(s-1)}{(s+1)(s+2)}.
Para voltar ao domínio do tempo faço frações parciais. Procuro constantes A e B tais que
\frac{2(s-1)}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
2(s-1)=A(s+2)+B(s+1).
Determino A e B substituindo valores convenientes:
  • Para s=-1: 2(-1-1)=2(-2)=-4=A(1)+B(0)\Rightarrow A=-4.
  • Para s=-2: 2(-2-1)=2(-3)=-6=A(0)+B(-1)\Rightarrow B=6.
Logo
Y(s)=\frac{-4}{s+1}+\frac{6}{s+2}.

Passo 6

Faço a transformada inversa termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}u(t):
y(t)=-4 e^{-t}u(t)+6 e^{-2t}u(t).
Posso escrever compactamente
y(t)=\bigl(-4 e^{-t}+6 e^{-2t}\bigr)u(t).

Resposta

\displaystyle H(s)=\frac{s-1}{s+1}
\displaystyle y_{\text{zs}}(t)=\bigl(-4 e^{-t}+6 e^{-2t}\bigr)u(t)

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