QUESTÃO2 (3,0 PONTOS) Em um tanque perfeitamente agitado de
contendo sal a
, inicia-se a adição de uma corrente de salmoura a
uma vazão de
, e inicia-se a retirada da salmoura na mesma taxa. Considere a densidade igual e constante nas duas correntes e no tanque.
a)Desenhe uma curva de concentração (
) pelo tempo (em horas)?
b)Qual será a concentração no tanque após 30 minutos de operação?
a)Desenhe uma curva de concentração (
b)Qual será a concentração no tanque após 30 minutos de operação?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque perfeitamente agitado de volume constante
que inicialmente contém sal em concentração
. A partir de
entra salmoura com concentração
à vazão
e sai salmoura na mesma vazão. Solicita-se (a) esboçar a curva de concentração
versus tempo e (b) determinar
após 30 minutos (
h).
Passo 2
Aplicamos o balanço de massa de sal no tanque. Se
é a massa de sal interna, então
Como
é constante, isso vira
Passo 3
Reescrevendo a equação diferencial:
Isso é uma EDO linear de coeficiente constante, cuja solução geral é
Substituindo valores:
Passo 4
A curva de
é um crescimento exponencial amortecido que parte de
e tende assintoticamente a
quando
. Em um esboço:
- eixo horizontal: tempo
(h); - eixo vertical: concentração
(kg/ ); - ponto inicial em
; - curva crescente, côncava para baixo;
- assíntota horizontal em
.
Passo 5
Para
h,
Como
,
Resposta
a) A função de concentração é
que parte de 150 e cresce exponencialmente até 350, com assíntota horizontal em 350.
b) Após 30 minutos ( h),
b) Após 30 minutos (