QUESTÃO2 (3,0 PONTOS) Em um tanque perfeitamente agitado de 50 \mathrm{~m}^{3} contendo sal a 150 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, inicia-se a adição de uma corrente de salmoura a 350 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{em} uma vazão de 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, e inicia-se a retirada da salmoura na mesma taxa. Considere a densidade igual e constante nas duas correntes e no tanque.
a)Desenhe uma curva de concentração ( \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) pelo tempo (em horas)?
b)Qual será a concentração no tanque após 30 minutos de operação?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque perfeitamente agitado de volume constante V=50\text{ m}^3 que inicialmente contém sal em concentração C(0)=150\text{ kg/m}^3. A partir de t=0 entra salmoura com concentração C_{\rm in}=350\text{ kg/m}^3 à vazão q=20\text{ m}^3/\text{h} e sai salmoura na mesma vazão. Solicita-se (a) esboçar a curva de concentração C(t) versus tempo e (b) determinar C após 30 minutos ( 0,5 h).

Passo 2

Aplicamos o balanço de massa de sal no tanque. Se M(t)=V\,C(t) é a massa de sal interna, então
\frac{dM}{dt} = q\,C_{\rm in} - q\,C(t).
Como V é constante, isso vira
V\,\frac{dC}{dt} = q\bigl(C_{\rm in}-C(t)\bigr).

Passo 3

Reescrevendo a equação diferencial:
\frac{dC}{dt} =\frac{q}{V}\bigl(C_{\rm in}-C\bigr).
Isso é uma EDO linear de coeficiente constante, cuja solução geral é
C(t) = C_{\rm in} +\bigl(C(0)-C_{\rm in}\bigr)e^{-\tfrac{q}{V}\,t}.
Substituindo valores:
C(t) =350 + (150-350)e^{-\tfrac{20}{50}t} =350 -200\,e^{-0,4\,t}.

Passo 4

A curva de C(t) é um crescimento exponencial amortecido que parte de C(0)=150 e tende assintoticamente a 350 quando t\to\infty. Em um esboço:
  • eixo horizontal: tempo t (h);
  • eixo vertical: concentração C (kg/ m^{3});
  • ponto inicial em (0,150);
  • curva crescente, côncava para baixo;
  • assíntota horizontal em C=350.

Passo 5

Para t=0,5 h,
C(0{,}5) =350 -200\,e^{-0,4\times0{,}5} =350 -200\,e^{-0{,}2}.
Como e^{-0{,}2}\approx0,8187,
C(0{,}5)\approx350 -200\times0,8187 \approx186,3\text{ kg/m}^3.

Resposta

a) A função de concentração é
C(t)=350 -200\,e^{-0,4\,t},
que parte de 150 e cresce exponencialmente até 350, com assíntota horizontal em 350.
b) Após 30 minutos ( t=0,5 h),
C(0,5)\approx186,3\text{ kg/m}^3.

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