Questão2: Um tanque paralepipédico, parcialmente cheio de água e aberto na parte superior, é transportado em um veículo. As dimensões do tanque são: comprimento = 4,0 \mathrm{~m}, largura =2,0 \mathrm{~m} e profundidade =1,5 \mathrm{~m}. Qual deverá ser a maior quantidade de água que poderá ser transportada neste tanque, sem que haja transbordamento, se a aceleração na direção do movimento for de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Suponha que o deslocamento aconteça em trajetória retilinea, sobre superfície plana e que o tanque esteja posicionado no veículo de forma que seu comprimento esteja alinhado com a direção do deslocamento.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a maior quantidade de água que pode ser transportada no tanque sem que haja transbordamento, sabendo que o tanque é um paralelepípedo aberto no topo e é acelerado ao longo do seu comprimento. Informações fornecidas (vou listar tudo claramente):
  • comprimento do tanque: L=4{,}0\\ \mathrm{m} (alinhado com a direção do movimento);
  • largura do tanque: W=2{,}0\\ \mathrm{m};
  • profundidade (altura) do tanque: H=1{,}5\\ \mathrm{m};
  • aceleração do veículo na direção do comprimento: a=2{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • o tanque está aberto no topo (transbordamento ocorre quando o nível do fluido atinge a borda mais alta durante a inclinação da superfície do líquido).
    Nada mais será assumido além desses dados. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece quando o veículo acelera: dentro do referencial do tanque (referencial não inercial), a água “sente” uma aceleração efetiva que é a soma vetorial da gravidade para baixo e da aceleração do veículo na direção horizontal. Consequência prática: a superfície livre da água deixa de ser horizontal e passa a ser inclinada de modo que seja perpendicular ao vetor da aceleração efetiva. Isso implica que a inclinação da superfície satisfaz a relação
\tan\varphi=\frac{a}{g},
onde \varphi é o ângulo entre a superfície do líquido e a horizontal, a é a aceleração horizontal do veículo e g é a aceleração da gravidade. Explicando rápido por que isso: em equilíbrio hidrostático no referencial acelerado, as superfícies equipotenciais do campo -\mathbf{g}_{\text{ef}} (onde \mathbf{g}_{\text{ef}} = g\,\hat{y} + a\,\hat{x} em módulo/direção apropriada) são planas perpendiculares a \mathbf{g}_{\text{ef}}; a superfície livre é uma equipotencial, daí a fórmula acima.

Passo 3

Relacionando a inclinação com a diferença de altura entre as extremidades do tanque: se a superfície está inclinada com ângulo \varphi ao longo do comprimento L, a diferença de nível entre a extremidade traseira e a dianteira é
\Delta h = L\,\tan\varphi.
Usaremos essa diferença para garantir que a extremidade mais alta fique no máximo na borda (sem transbordar).

Passo 4

Calcular \tan\varphi usando a e g. Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
\tan\varphi=\frac{a}{g}=\frac{2{,}5}{9{,}81}\approx 0{,}25484.

Passo 5

Calcular a diferença de níveis \Delta h:
\Delta h = L\,\tan\varphi = 4{,}0\times 0{,}25484 \approx 1{,}01936\\ \mathrm{m}.
Observação importante: \Delta h < H (pois 1{,}01936<1{,}5), então a extremidade mais baixa não fica acima do fundo — isto é, ainda existe água em toda a base e não esvaziará completamente a dianteira. Portanto é possível encher até que a extremidade traseira atinja a borda.

Passo 6

Determinar a profundidade média da coluna de água quando a superfície está inclinada de modo que a extremidade traseira atinja o topo. Se a altura na extremidade traseira é H, então a altura na extremidade dianteira é H-\Delta h. Como a superfície varia linearmente ao longo do comprimento, a profundidade média ao longo do comprimento é a média aritmética dessas duas extremidades:
h_{\text{média}}=\frac{H + (H-\Delta h)}{2}=H-\frac{\Delta h}{2}.é
Substituindo números:
h_{\text{média}}=1{,}5-\frac{1{,}01936}{2}=1{,}5-0{,}50968=0{,}99032\\ \mathrm{m}.é

Passo 7

Calcular o volume máximo de água correspondente a essa profundidade média: o volume é a área da base vezes a profundidade média. A área da base é A_{\text{base}}=L\times W. Então
V = L\,W\,h_{\text{média}} = 4{,}0\times 2{,}0 \times 0{,}99032 \approx 7{,}92256\\ \mathrm{m^{3}}.é
Arredondando consistentemente com os dados (aprox. três algarismos significativos), temos V\approx 7{,}92\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Conversões úteis (opcionais, para intuir a “quantidade”):
  • em litros: 1\\ \mathrm{m^{3}}=1000\\ \mathrm{L}, logo V\approx 7{,}92\times 10^{3}\\ \mathrm{L};
  • em massa de água (densidade \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}): m=\rho V\approx 7{,}92\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

V\approx 7{,}92\\ \mathrm{m^{3}}
V\approx 7{,}92\times 10^{3}\\ \mathrm{L}

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