Questão2: Um tanque paralepipédico, parcialmente cheio de água e aberto na parte superior, é transportado em um veículo. As dimensões do tanque são: comprimento =
, largura
e profundidade
. Qual deverá ser a maior quantidade de água que poderá ser transportada neste tanque, sem que haja transbordamento, se a aceleração na direção do movimento for de
. Suponha que o deslocamento aconteça em trajetória retilinea, sobre superfície plana e que o tanque esteja posicionado no veículo de forma que seu comprimento esteja alinhado com a direção do deslocamento.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a maior quantidade de água que pode ser transportada no tanque sem que haja transbordamento, sabendo que o tanque é um paralelepípedo aberto no topo e é acelerado ao longo do seu comprimento. Informações fornecidas (vou listar tudo claramente):
- comprimento do tanque:
(alinhado com a direção do movimento); - largura do tanque:
; - profundidade (altura) do tanque:
; - aceleração do veículo na direção do comprimento:
; - o tanque está aberto no topo (transbordamento ocorre quando o nível do fluido atinge a borda mais alta durante a inclinação da superfície do líquido).
Nada mais será assumido além desses dados. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que acontece quando o veículo acelera: dentro do referencial do tanque (referencial não inercial), a água “sente” uma aceleração efetiva que é a soma vetorial da gravidade para baixo e da aceleração do veículo na direção horizontal. Consequência prática: a superfície livre da água deixa de ser horizontal e passa a ser inclinada de modo que seja perpendicular ao vetor da aceleração efetiva. Isso implica que a inclinação da superfície satisfaz a relação
onde
é o ângulo entre a superfície do líquido e a horizontal,
é a aceleração horizontal do veículo e
é a aceleração da gravidade. Explicando rápido por que isso: em equilíbrio hidrostático no referencial acelerado, as superfícies equipotenciais do campo
(onde
em módulo/direção apropriada) são planas perpendiculares a
; a superfície livre é uma equipotencial, daí a fórmula acima.
Passo 3
Relacionando a inclinação com a diferença de altura entre as extremidades do tanque: se a superfície está inclinada com ângulo
ao longo do comprimento
, a diferença de nível entre a extremidade traseira e a dianteira é
Usaremos essa diferença para garantir que a extremidade mais alta fique no máximo na borda (sem transbordar).
Passo 4
Calcular
usando
e
. Vou usar
. Então
Passo 5
Calcular a diferença de níveis
:
Observação importante:
(pois
), então a extremidade mais baixa não fica acima do fundo — isto é, ainda existe água em toda a base e não esvaziará completamente a dianteira. Portanto é possível encher até que a extremidade traseira atinja a borda.
Passo 6
Determinar a profundidade média da coluna de água quando a superfície está inclinada de modo que a extremidade traseira atinja o topo. Se a altura na extremidade traseira é
, então a altura na extremidade dianteira é
. Como a superfície varia linearmente ao longo do comprimento, a profundidade média ao longo do comprimento é a média aritmética dessas duas extremidades:
Substituindo números:
Passo 7
Calcular o volume máximo de água correspondente a essa profundidade média: o volume é a área da base vezes a profundidade média. A área da base é
. Então
Arredondando consistentemente com os dados (aprox. três algarismos significativos), temos
.
Passo 8
Conversões úteis (opcionais, para intuir a “quantidade”):
- em litros:
, logo ; - em massa de água (densidade
): .