Questão1: Um eixo cilíndrico de diâmetro
e comprimento
gira no interior de um mancal de diâmetro D. O espaço entre o eixo e o mancal é preenchido por uma graxa newtoniana de viscosidade
. Determinar a potência necessária para que o eixo gire com uma rotação constante
. Supor distribuição linear de velocidade na graxa. São dados:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a potência necessária para que um eixo cilíndrico gire com rotação constante
dentro de um mancal, quando o espaço entre eixo e mancal está preenchido por uma graxa newtoniana com distribuição linear de velocidade na graxa. Dados fornecidos (vou listar todos, exatamente como foram dados):
Condição extra (do enunciado): distribuição linear de velocidade na graxa (ou seja, velocidade tangencial decresce linearmente do eixo até o mancal).
Passo 2
Modelo físico e definição das quantidades: pense no filme de graxa como uma camada cilíndrica fina entre o eixo (raio
) e o mancal. O eixo gira com velocidade angular
e a superfície do eixo tem velocidade tangencial
Com distribuição linear de velocidade na graxa, a taxa de deformação (crescimento de velocidade por unidade de distância radial, chamado de taxa de cisalhamento) é
onde
é a espessura do filme de graxa (distância radial entre eixo e mancal) e a parede do mancal está parada (velocidade zero). Em um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é dada por
Essa tensão tangencial age sobre a superfície cilíndrica do eixo (área de contato)
A força tangencial total sobre o eixo é
. O torque devido a essa força, tomando o raio do eixo
, é
Substituindo
e
, obtemos
Agrupando termos (tome cuidado com cada potência de
):
A potência viscosa necessária para manter o eixo girando com velocidade angular
é
Aqui explico o que cada símbolo representa:
-
: viscosidade dinâmica do fluido (SI: ); -
: velocidade angular do eixo (rad/s); -
: diâmetro do eixo (m); -
: comprimento do mancal/ângulo de contato (m); -
: folga radial entre eixo e mancal (m), isto é .
Passo 3
Conversão das grandezas para unidades SI e cálculo de
e
:
A folga radial é
A velocidade angular
a partir de
é
Passo 4
Conversão da viscosidade dada em
para
(SI): lembre que
. Assim
Passo 5
Agora vamos calcular passo a passo a expressão
Calcule termos intermediários:
Multiplique
por
:
Multiplique por
:
Divida por
(lembre que
):
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para segurança): o torque seria
o que é um valor coerente para este tipo de atrito viscoso em pequena folga.