Questão1: Um eixo cilíndrico de diâmetro d e comprimento L gira no interior de um mancal de diâmetro D. O espaço entre o eixo e o mancal é preenchido por uma graxa newtoniana de viscosidade \mu. Determinar a potência necessária para que o eixo gire com uma rotação constante n. Supor distribuição linear de velocidade na graxa. São dados: \boldsymbol{d}=80 \mathrm{~mm} ; \boldsymbol{D}=82 \mathrm{~mm} ; \boldsymbol{\mu}=4 \times 10^{-3} \mathrm{kgf} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ; \boldsymbol{n}=1200 \mathrm{rpm} ; \boldsymbol{L}=150 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência necessária para que um eixo cilíndrico gire com rotação constante n dentro de um mancal, quando o espaço entre eixo e mancal está preenchido por uma graxa newtoniana com distribuição linear de velocidade na graxa. Dados fornecidos (vou listar todos, exatamente como foram dados):
d=80\\ \mathrm{mm},\quad D=82\\ \mathrm{mm},\quad \mu=4\times10^{-3}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}},\quad n=1200\\ \mathrm{rpm},\quad L=150\\ \mathrm{mm}.
Condição extra (do enunciado): distribuição linear de velocidade na graxa (ou seja, velocidade tangencial decresce linearmente do eixo até o mancal).

Passo 2

Modelo físico e definição das quantidades: pense no filme de graxa como uma camada cilíndrica fina entre o eixo (raio r) e o mancal. O eixo gira com velocidade angular \omega e a superfície do eixo tem velocidade tangencial
v_s=\omega r.
Com distribuição linear de velocidade na graxa, a taxa de deformação (crescimento de velocidade por unidade de distância radial, chamado de taxa de cisalhamento) é
\dot\gamma=\frac{v_s-0}{h}=\frac{v_s}{h},
onde h é a espessura do filme de graxa (distância radial entre eixo e mancal) e a parede do mancal está parada (velocidade zero). Em um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é dada por
\tau=\mu\dot\gamma=\mu\frac{v_s}{h}.
Essa tensão tangencial age sobre a superfície cilíndrica do eixo (área de contato)
A=\text{circunferência}\times\text{comprimento}=\pi d L.ê
A força tangencial total sobre o eixo é F=\tau A. O torque devido a essa força, tomando o raio do eixo r=d/2, é
T = F\cdot r = \tau A \cdot \frac{d}{2}.
Substituindo \tau=\mu\frac{v_s}{h} e v_s=\omega\frac{d}{2}, obtemos
T=\mu\frac{\omega\frac{d}{2}}{h}\cdot (\pi d L)\cdot\frac{d}{2}.
Agrupando termos (tome cuidado com cada potência de d):
T=\mu\frac{\omega}{h}\cdot\pi d L \cdot\frac{d^2}{4} =\mu\frac{\omega\pi d^{3}L}{4h}.
A potência viscosa necessária para manter o eixo girando com velocidade angular \omega é
P=T\omega=\mu\frac{\omega^{2}\pi d^{3}L}{4h}.
Aqui explico o que cada símbolo representa:
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido (SI: \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\cdot s/m^{2}});
  • \omega: velocidade angular do eixo (rad/s);
  • d: diâmetro do eixo (m);
  • L: comprimento do mancal/ângulo de contato (m);
  • h: folga radial entre eixo e mancal (m), isto é h=(D-d)/2.

Passo 3

Conversão das grandezas para unidades SI e cálculo de \omega e h:
d=80\\ \mathrm{mm}=0,080\\ \mathrm{m}, \quad D=82\\ \mathrm{mm}=0,082\\ \mathrm{m}, \quad L=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m}.
A folga radial é
h=\frac{D-d}{2}=\frac{0,082-0,080}{2}=0,001\\ \mathrm{m}.
A velocidade angular \omega a partir de n é
\omega=2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1200}{60}=40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx125{,}6637061\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Conversão da viscosidade dada em \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}} para \mathrm{Pa\cdot s} (SI): lembre que 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}. Assim
\mu=4\times10^{-3}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}=4\times10^{-3}\cdot 9{,}80665\\ \mathrm{Pa\cdot s}=0{,}0392266\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Agora vamos calcular passo a passo a expressão
P=\mu\frac{\omega^{2}\pi d^{3}L}{4h}.
Calcule termos intermediários:
d^{3}=(0{,}080)^{3}=0{,}000512\\ \mathrm{m^{3}}.
d^{3}L=0{,}000512\cdot 0{,}150=0{,}0000768\\ \mathrm{m^{4}}.
\pi d^{3}L=\pi\cdot 0{,}0000768\approx0{,}000241660973\\ \mathrm{m^{4}}.
\omega^{2}\approx(125{,}6637061)^{2}\approx15791{,}367.
Multiplique \omega^{2} por \pi d^{3}L:
\omega^{2}\pi d^{3}L\approx15791{,}367\cdot 0{,}000241660973\approx3{,}816175\\ (\text{unidade } \mathrm{m^{4}/s^{2}}).
Multiplique por \mu:
\mu\cdot\omega^{2}\pi d^{3}L\approx0{,}0392266\cdot 3{,}816175\approx0{,}149696\\ (\text{unidade } \mathrm{N\cdot m/s} = \mathrm{W}\cdot 0{,}004).
Divida por 4h (lembre que 4h=4\cdot 0{,}001=0{,}004\\ \mathrm{m}):
P=\frac{0{,}149696}{0{,}004}\approx37{,}424\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para segurança): o torque seria
T=\frac{P}{\omega}\approx\frac{37{,}424}{125{,}6637}\approx0{,}2979\\ \mathrm{N\cdot m},
o que é um valor coerente para este tipo de atrito viscoso em pequena folga.

Resposta

P\approx 37{,}4\\ \mathrm{W}

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