Um trocador de calor de um passe no casco e dois passes nos tubos deve ser projetado para aquecer 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água de 40^{\circ} \mathrm{C} até 120^{\circ} \mathrm{C}, fluindo nos tubos, utilizando água quente pressurizada entrando no casco a 300^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 1,03 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O coeficiente de transferência de calor global é \mathrm{U}=1250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos a pressão constante são 4.180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C} para o fluido frio e 4.660 \mathrm{J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} para o fluido quente. Determinar a área de transferência de calor necessária.

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica A necessária para um trocador com uma passe no casco e dois passes nos tubos. Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
\dot m_c = 2\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{c,in}=40^\circ\mathrm{C},\quad T_{c,out}=120^\circ\mathrm{C},
\dot m_h = 1{,}03\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{h,in}=300^\circ\mathrm{C},
U = 1250\\ \mathrm{W/m^2\,^\circ C},
c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},\quad c_{p,h}=4660\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
O objetivo imediato: calcular a taxa de calor Q necessária (pela água fria), obter a temperatura de saída do fluido quente T_{h,out} por balanço de energia, calcular o LMTD (log-mean temperature difference) entre os fluidos, aplicar o fator de correção F apropriado para configuração 1 passe no casco / 2 passes nos tubos, e finalmente obter A a partir de Q = U\,A\,F\,\mathrm{LMTD}.

Passo 2

Calcular a taxa de calor necessária para aquecer a água fria (energia ganha pelo fluido frio). Fórmula (energia sensível):
Q = \dot m_c\, c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Explicando a fórmula: \dot m_c é vazão mássica do fluido frio (kg/s), c_{p,c} é calor específico a pressão constante (J/kg·°C), e a diferença de temperatura é a elevação térmica. Substituindo:
Q = 2\cdot 4180\cdot(120-40)\\ \mathrm{W}.
Agora a conta passo a passo:
120-40=80,
4180\cdot 80 = 334\,400,
Q = 2\cdot 334\,400 = 668\,800\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a temperatura de saída do fluido quente usando balanço de energia (o calor cedido pelo quente = calor recebido pelo frio). Fórmula:
Q = \dot m_h\, c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Despejando T_{h,out}:
T_{h,out} = T_{h,in} - \frac{Q}{\dot m_h\, c_{p,h}}.
Substituindo os números:
\dot m_h\, c_{p,h} = 1{,}03\cdot 4660 = 4\,799{,}8\\ \mathrm{J/(s\,^\circ C)}.
\frac{Q}{\dot m_h\, c_{p,h}} = \frac{668\,800}{4\,799{,}8}\approx 139{,}34\\ ^\circ\mathrm{C}.
T_{h,out} \approx 300 - 139{,}34 = 160{,}66^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o LMTD (log-mean temperature difference) para o trocador ideal (antes da correção). Definição e interpretação: o LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura na entrada e saída e é a média térmica apropriada para trocadores com variação exponencial de temperatura. Fórmula:
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out},\qquad \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in}.
Calcular os termos:
\Delta T_1 = 300-120 = 180^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 160{,}66-40 = 120{,}66^\circ\mathrm{C}.
Agora a LMTD:
\mathrm{LMTD} = \frac{180 - 120{,}66}{\ln\!\left(\dfrac{180}{120{,}66}\right)} = \frac{59{,}34}{\ln(1{,}491)} \approx \frac{59{,}34}{0{,}398} \approx 148{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o fator de correção F para a configuração “1 passe no casco e 2 passes nos tubos”. Explicação do que são P e R:
  • P é a razão da variação de temperatura do fluido frio sobre a diferença entre entrada do quente e entrada do frio:
P = \frac{T_{c,out}-T_{c,in}}{T_{h,in}-T_{c,in}}.
  • R é a razão entre a queda de temperatura do quente e o ganho do frio:
R = \frac{T_{h,in}-T_{h,out}}{T_{c,out}-T_{c,in}}.
Essas grandezas reúnem as condições térmicas e entram na expressão de F. Substituindo:
P = \frac{120-40}{300-40}=\frac{80}{260}=0{,}3076923,
R = \frac{300-160{,}66}{80}\approx \frac{139{,}34}{80}\approx 1{,}7417.
Fórmula prática para F (caso 1 shell pass / 2 tube passes) — esta fórmula é padrão em manuais de trocadores e deve ser aplicada com cuidado:
F = \frac{\sqrt{R^2+1}}{R-1}\cdot \frac{\ln\!\left(\dfrac{1-P}{1-P\,R}\right)} {\ln\!\left(\dfrac{1-\dfrac{P}{2}\,(R+1-\sqrt{R^2+1})} {1-\dfrac{P}{2}\,(R+1+\sqrt{R^2+1})}\right)}.
Agora calculemos passo a passo os termos internos:
  1. \sqrt{R^2+1}:
\sqrt{R^2+1} = \sqrt{1{,}7417^2+1} \approx \sqrt{4{,}0334}\approx 2{,}0083.
  1. fator frontal:
\frac{\sqrt{R^2+1}}{R-1} \approx \frac{2{,}0083}{1{,}7417-1}=\frac{2{,}0083}{0{,}7417}\approx 2{,}7099.
  1. numerador logarítmico:
\ln\!\left(\dfrac{1-P}{1-PR}\right) = \ln\!\left(\dfrac{1-0{,}3076923}{1-0{,}3076923\cdot 1{,}7417}\right) \approx \ln\!\left(\dfrac{0{,}6923077}{0{,}464945}\right)\approx \ln(1{,}4895)\approx 0{,}3986.
  1. denominador logarítmico — calcular argumentos:
R+1-\sqrt{R^2+1}\approx 2{,}7417-2{,}0083=0{,}7334,
R+1+\sqrt{R^2+1}\approx 2{,}7417+2{,}0083=4{,}7500.
1-\frac{P}{2}(R+1-\sqrt{R^2+1})\approx 1-\frac{0{,}3076923}{2}\cdot 0{,}7334 \approx 1-0{,}1126=0{,}8874,
1-\frac{P}{2}(R+1+\sqrt{R^2+1})\approx 1-\frac{0{,}3076923}{2}\cdot 4{,}7500 \approx 1-0{,}7308=0{,}2692.
Razão e logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}8874}{0{,}2692}\right)=\ln(3{,}296)\approx 1{,}1934.
  1. agora F:
F \approx 2{,}7099\cdot \frac{0{,}3986}{1{,}1934}\approx 2{,}7099\cdot 0{,}3339\approx 0{,}905.
Interpretação curta: F<1 porque a disposição 1–2 não é equivalente a um trocador de fluxo perfeitamente contra-corrente; F reduz o LMTD efetivo.

Passo 6

Calcular o LMTD efetivo (corrigido) multiplicando o LMTD pelo fator F:
\mathrm{LMTD_{eff}} = F\cdot \mathrm{LMTD} \approx 0{,}905\cdot 148{,}7 \approx 134{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Determinar a área A a partir da equação global de transmissão de calor:
Q = U\,A\,\mathrm{LMTD_{eff}}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{Q}{U\,\mathrm{LMTD_{eff}}}.
Substituindo números:
A = \frac{668\,800}{1250\cdot 134{,}6}\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo:
1250\cdot 134{,}6 = 168\,250\\ (\text{aprox.}),
A \approx \frac{668\,800}{168\,250}\approx 3{,}98\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

A \approx 3{,}98\\ \mathrm{m}^2

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