Questao3
Determine a solução geral da equação diferencial:
Com as seguintes condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O método consiste em encontrar a solução complementar (homogênea) usando a equação característica e depois uma solução particular por tentativa de forma de . Em seguida, ajustamos as constantes com as condições iniciais.
O método consiste em encontrar a solução complementar (homogênea) usando a equação característica e depois uma solução particular por tentativa de forma de
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
cuja equação característica é
logo
ou
. Portanto a solução complementar é
Passo 3
Para a solução particular, como o termo forçante é
e
já aparece na homogênea (raiz simples
), tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso dá
Assim
Passo 4
A solução geral é
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
Em seguida,
logo em
Resolvendo o sistema
obtemos
.