Questao3

Determine a solução geral da equação diferencial:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=3 e^{x}
Com as seguintes condições iniciais
y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0.
\begin{aligned} & Y(x)=-3 / 4 e^{x}-1 / 4 e^{3 x}+1,5 x e^{x} \\\ & Y(x)=3 / 4 e^{x}-1 / 4 e^{3 x}-1,5 x e^{x} \\\ & Y(x)=3 / 4 e^{x}+1 / 4 e^{x}-1,5 x e^{3 x} \\\ & Y(x)=3 / 4 e^{x}+1 / 4 e^{3 x}-1,5 x e^{x} \\\ & Y(x)=3 / 4 e^{x}+1 / 4 e^{3 x}+1,5 x e^{x} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = 3e^x
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O método consiste em encontrar a solução complementar (homogênea) usando a equação característica e depois uma solução particular por tentativa de forma de e^{x}. Em seguida, ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'' - 4y' + 3y = 0
cuja equação característica é
r^2 - 4r + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (r-1)(r-3)=0
logo r=1 ou r=3. Portanto a solução complementar é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{3x}.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 3e^x e e^x já aparece na homogênea (raiz simples r=1), tentamos
y_p = A x e^x.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A e^x + A x e^x, \quad y_p'' = 2A e^x + A x e^x.
Substituindo na equação original:
(2A e^x + A x e^x) -4(A e^x + A x e^x) +3(A x e^x) =3e^x.
Isso dá
(2A -4A)e^x + (A -4A +3A)x e^x = -2A e^x = 3e^x \;\Longrightarrow\; A = -\tfrac{3}{2}.
Assim
y_p = -1,5\,x e^x.

Passo 4

A solução geral é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - 1,5\,x e^x.
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
y(0) = C_1 + C_2 = 1.
Em seguida,
y' = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} -1,5 e^x -1,5 x e^x,
logo em x=0\): \[y'(0) = C_1 + 3C_2 -1,5 = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 + 3C_2 = 1,5.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\ C_1 + 3C_2 = 1,5, \end{cases}
obtemos C_2 = 0,25\] e \(C_1 = 0,75.

Resposta

Y(x) = \frac{3}{4}e^x + \frac{1}{4}e^{3x} - 1,5\,x e^x

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