Questão 08

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}(t)-6 y^{\prime}(t)+8 y(t)=0 \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
Y(t)=e^{-4 t}-e^{-2 t}
Y(t)=-e^{4 t}-e^{2 t}
Y(t)=-e^{4 t}+e^{2 t}
Y(t)=e^{4 t}+e^{2 t}
Y(t)=e^{4 t}-e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)-6\,y'(t)+8\,y(t)=0,\\\ y(0)=0,\\\ y'(0)=2. \end{cases}
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à equação diferencial:
r^2 - 6r + 8 = 0.
Resolvendo-a, encontramos as raízes
r_{1}=2 \quad\text{e}\quad r_{2}=4.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_{1}\,e^{2t} + C_{2}\,e^{4t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Usamos y(0)=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-C_{2}.
Em seguida, calculamos y'(t):
y'(t)=2\,C_{1}\,e^{2t}+4\,C_{2}\,e^{4t}
e aplicamos y'(0)=2:
y'(0)=2\,C_{1}+4\,C_{2}=2.
Substituindo C_{1}=-C_{2} nessa última, obtém-se
2(-C_{2})+4C_{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad 2C_{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=1,
logo C_{1}=-1.

Passo 5

Substituindo C_{1}=-1 e C_{2}=1 na solução geral, vem
y(t) = -1\cdot e^{2t} + 1\cdot e^{4t} = e^{4t} - e^{2t}.

Resposta

Y(t)=e^{4t}-e^{2t}.

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