QUESTAO 04 -O deslocamento das particulas da corda varia com o tempo de acordo com a equação:
y(x, t)=(32 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}[(0,25 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x-(3,0 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t].
A densidade linear da corda é igual a. 25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}.
DETERMINE: (a) a frequência de oscilação, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de propagação da onda.
(d) CALCULE a tensão na corda.
(e) Determine o deslocamento vertical da corda para x=20 \mathrm{~cm} e t=25 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a função de deslocamento das partículas da corda
y(x,t) = (32\\ \mathrm{cm})\operatorname{sen}\big[(0,25\pi\\ \mathrm{rad/m})\,x - (3,0\pi\\ \mathrm{rad/s})\,t\big]
e informa a densidade linear da corda: \;25\\ \mathrm{g/cm}.
Perguntas pedidas:
(a) determinar a frequência de oscilação;
(b) determinar o comprimento de onda;
(c) determinar a velocidade de propagação da onda;
(d) calcular a tensão na corda;
(e) determinar o deslocamento vertical da corda para x=20\\ \mathrm{cm} e t=25\\ \mathrm{s}.
Dados relevantes (retirei diretamente do enunciado):
A = 32\\ \mathrm{cm}, \qquad k = 0,25\pi\\ \mathrm{rad/m}, \qquad \omega = 3,0\pi\\ \mathrm{rad/s}, \qquad \mu = 25\\ \mathrm{g/cm}.
Observação: unidades estão mistas (cm e m); vou converter quando necessário e explicitar todas as conversões ao longo da resolução.

Passo 2

Entendendo as grandezas e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • A função de onda no enunciado tem a forma \;y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t)\;. Aqui:
    • A é a amplitude (maior deslocamento em módulo);
    • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m};
    • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}.
  • Relações úteis entre essas grandezas: f=\frac{\omega}{2\pi}, \qquad \lambda=\frac{2\pi}{k}, \qquad v=\frac{\omega}{k}=\lambda f.Explicando cada fórmula:
    • \;f=\omega/(2\pi)\; porque \omega conta quantos radianos por segundo a onda “gira” e 2\pi rad correspondem a um ciclo completo.
    • \;\lambda=2\pi/k\; porque k indica quantos radianos a fase muda por metro; para mudar 2\pi rad (um comprimento de onda) precisa-se de \lambda metros.
    • \;v=\omega/k\; vem de dividir rad/s por rad/m dando m/s, que é a velocidade de propagação da fase da onda.
  • Para uma corda tensionada a relação entre velocidade e tensão é: v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},onde T é a tensão (em N) e \mu é a densidade linear de massa (em \mathrm{kg/m}). Desse modo: T=\mu v^2.Explicando: oscilações na corda propagam-se mais rápido se a tensão for maior ou a massa por comprimento for menor.

Passo 3

Converter unidades para o SI quando for necessário (explico e calculo):
  • Amplitude: \;A=32\\ \mathrm{cm}=0,32\\ \mathrm{m}.
    (Converti dividindo por 100 porque 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}.)
  • Número de onda e frequência angular já vêm em unidades compatíveis com metro e segundo: k=0,25\pi\\ \mathrm{rad/m},\qquad \omega=3,0\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Densidade linear: enunciado diz \mu=25\\ \mathrm{g/cm}. Converter para \mathrm{kg/m}:
    • 25\\ \mathrm{g} = 0,025\\ \mathrm{kg}.
    • 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}, então 25\\ \mathrm{g/cm} = \dfrac{0,025\\ \mathrm{kg}}{0,01\\ \mathrm{m}} = 2,5\\ \mathrm{kg/m}.
      Logo \;\mu = 2,5\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Calcular a frequência de oscilação (\mathbf{a}):
Usamos \;f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=3,0\pi\\ \mathrm{rad/s}:
f=\frac{3,0\pi}{2\pi}=\frac{3,0}{2}=1,5\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: a corda completa 1,5 oscilações por segundo.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda (\mathbf{b}):
Usamos \;\lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
Com k=0,25\pi\\ \mathrm{rad/m}:
\lambda=\frac{2\pi}{0,25\pi}=\frac{2}{0,25}=8\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a distância entre cristas sucessivas da onda é 8\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade de propagação (\mathbf{c}):
Podemos usar \;v=\dfrac{\omega}{k} ou \;v=f\lambda. Vou mostrar ambas para confirmar:
Usando \omega/k:
v=\frac{3,0\pi}{0,25\pi}=\frac{3,0}{0,25}=12\\ \mathrm{m/s}.
Usando f\lambda:
v=f\lambda=1,5\cdot 8=12\\ \mathrm{m/s}.
Confirmação consistente: a onda se propaga a 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a tensão na corda (\mathbf{d}):
Usamos a relação \;T=\mu v^2. Já temos \mu=2,5\\ \mathrm{kg/m} e v=12\\ \mathrm{m/s}.
T = 2,5\cdot (12)^2 = 2,5\cdot 144 = 360\\ \mathrm{N}.
Interpretação: é a força aplicada ao longo da corda para manter essa velocidade de propagação.

Passo 8

Calcular o deslocamento vertical para x=20\\ \mathrm{cm},\\ t=25\\ \mathrm{s} (\mathbf{e}):
Primeiro converto x para metros porque k está em \mathrm{rad/m}:
x=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
A função é y(x,t)=32\\ \mathrm{cm}\cdot\operatorname{sen}(kx-\omega t). Vou calcular a fase \varphi=kx-\omega t:
kx=(0,25\pi)\cdot 0,20 = 0,05\pi.
\omega t=(3,0\pi)\cdot 25 = 75\pi.
\varphi = 0,05\pi - 75\pi = -74,95\pi.
Agora reduzimos a fase usando periodicidade da função seno: \operatorname{sen}(\theta) tem período 2\pi, então podemos subtrair múltiplos inteiros de 2\pi. Note que -74\pi é múltiplo de 2\pi porque -74 = -37\cdot 2. Então
\varphi \equiv -0,95\pi \pmod{2\pi}.
Portanto
\operatorname{sen}(\varphi)=\operatorname{sen}(-0,95\pi) = -\operatorname{sen}(0,95\pi).
Observação geométrica: 0,95\pi = 171^\circ, e \operatorname{sen}(171^\circ)=\sin(9^\circ) (pois \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha). Então
\operatorname{sen}(0,95\pi)=\sin(171^\circ)=\sin(9^\circ)\approx 0,156434.
Logo
\operatorname{sen}(\varphi)\approx -0,156434.
Multiplicando pela amplitude (vou usar a amplitude em cm para obter o resultado em cm):
y(0,20\\ \mathrm{m},25\\ \mathrm{s}) = 32\\ \mathrm{cm}\cdot(-0,156434)\approx -5,01\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: naquele instante e posição a corda está deslocada para baixo cerca de 5,01\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) f=1,5\\ \mathrm{Hz}
(b) \lambda=8\\ \mathrm{m}
(c) v=12\\ \mathrm{m/s}
(d) T=360\\ \mathrm{N}
(e) y(20\\ \mathrm{cm},25\\ \mathrm{s})\approx -5,01\\ \mathrm{cm}

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