QUESTAO 04 -O deslocamento das particulas da corda varia com o tempo de acordo com a equação:
.
A densidade linear da corda é igual a.
.
DETERMINE: (a) a frequência de oscilação, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de propagação da onda.
(d) CALCULE a tensão na corda.
(e) Determine o deslocamento vertical da corda para
e
.
A densidade linear da corda é igual a.
DETERMINE: (a) a frequência de oscilação, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de propagação da onda.
(d) CALCULE a tensão na corda.
(e) Determine o deslocamento vertical da corda para
Passo 1
O enunciado dá a função de deslocamento das partículas da corda
e informa a densidade linear da corda:
Perguntas pedidas:
(a) determinar a frequência de oscilação;
(b) determinar o comprimento de onda;
(c) determinar a velocidade de propagação da onda;
(d) calcular a tensão na corda;
(e) determinar o deslocamento vertical da corda para e
.
(a) determinar a frequência de oscilação;
(b) determinar o comprimento de onda;
(c) determinar a velocidade de propagação da onda;
(d) calcular a tensão na corda;
(e) determinar o deslocamento vertical da corda para
Dados relevantes (retirei diretamente do enunciado):
Observação: unidades estão mistas (cm e m); vou converter quando necessário e explicitar todas as conversões ao longo da resolução.
Passo 2
Entendendo as grandezas e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- A função de onda no enunciado tem a forma
. Aqui: -
é a amplitude (maior deslocamento em módulo); -
é o número de onda, em ; -
é a frequência angular, em .
-
- Relações úteis entre essas grandezas:
Explicando cada fórmula: -
porque conta quantos radianos por segundo a onda “gira” e rad correspondem a um ciclo completo. -
porque indica quantos radianos a fase muda por metro; para mudar rad (um comprimento de onda) precisa-se de metros. -
vem de dividir rad/s por rad/m dando m/s, que é a velocidade de propagação da fase da onda.
-
- Para uma corda tensionada a relação entre velocidade e tensão é:
onde é a tensão (em N) e é a densidade linear de massa (em ). Desse modo: Explicando: oscilações na corda propagam-se mais rápido se a tensão for maior ou a massa por comprimento for menor.
Passo 3
Converter unidades para o SI quando for necessário (explico e calculo):
- Amplitude:
(Converti dividindo porporque .) - Número de onda e frequência angular já vêm em unidades compatíveis com metro e segundo:
- Densidade linear: enunciado diz
Converter para : -
. -
, então
Logo
-
Passo 4
Calcular a frequência de oscilação
:
Usamos
Substituindo :
Usamos
Substituindo
Interpretação: a corda completa
oscilações por segundo.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
:
Usamos
Com :
Usamos
Com
Interpretação: a distância entre cristas sucessivas da onda é
.
Passo 6
Calcular a velocidade de propagação
:
Podemos usar ou
. Vou mostrar ambas para confirmar:
Usando :
Podemos usar
Usando
Usando
:
Confirmação consistente: a onda se propaga a
.
Passo 7
Calcular a tensão na corda
:
Usamos a relação Já temos
e
.
Usamos a relação
Interpretação: é a força aplicada ao longo da corda para manter essa velocidade de propagação.
Passo 8
Calcular o deslocamento vertical para
:
Primeiro converto para metros porque
está em
:
Primeiro converto
A função é
. Vou calcular a fase
:
Agora reduzimos a fase usando periodicidade da função seno:
tem período
, então podemos subtrair múltiplos inteiros de
. Note que
é múltiplo de
porque
. Então
Portanto
Observação geométrica:
, e
(pois
). Então
Logo
Multiplicando pela amplitude (vou usar a amplitude em cm para obter o resultado em cm):
Interpretação: naquele instante e posição a corda está deslocada para baixo cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)