QUESTÍO 06 - Numa corda tensionada, fixa nas duas pontas, uma certa onda estacionária vibrando no terceiro harmônico. tem a equaçāo: y^{\prime}(x, t)=0.024 \operatorname{sen}(24 \pi x) \cos (480 \pi t), com todas unidades no SI Determine:
(a) a amplitude

Passo 1

O enunciado dá a função de uma onda estacionária e pede apenas a amplitude (parte (a)). As informações fornecidas são:
y'(x,t)=0,024\\ \sin(24\pi x)\cos(480\pi t)
todas as unidades no SI. O que se pede: determinar a amplitude dessa onda.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma padrão de uma onda estacionária fixa nas extremidades. A forma típica é
y(x,t)=A\,\sin(kx)\cos(\omega t),
onde:
  • A é a amplitude máxima (em metros), ou seja, o coeficiente que multiplica os termos oscilatórios;
  • k é o número de onda (em rad/m), que multiplica x;
  • \omega é a frequência angular (em rad/s), que multiplica t.
    Comparando com a função dada, identificamos:
A=0,024,\qquad k=24\pi,\qquad \omega=480\pi.

Passo 3

Explico o que queremos dizer por “amplitude” num caso de onda estacionária. Para um ponto fixo x a função no tempo é y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t). A variação temporal naquele ponto tem a forma de uma coseno multiplicada por A\sin(kx). O máximo em módulo ao longo do tempo, para esse x, é obtido quando |\cos(\omega t)|=1. Então a amplitude local (no ponto x) é
\text{amplitude local} = A\,|\sin(kx)|.
Substituindo os valores que identificamos:
\text{amplitude local} = 0,024\;|\sin(24\pi x)|\\ \text{m}.

Passo 4

Agora, se a pergunta é a amplitude da onda (ou a amplitude máxima alcançável na corda), devemos observar que |\sin(24\pi x)|\le 1 para todo x. Portanto o valor máximo possível de A|\sin(24\pi x)| ao longo da corda é A (quando |\sin(24\pi x)|=1, isto é, nos antinodos). Logo a amplitude máxima da onda estacionária é
A=0,024\\ \text{m}.

Passo 5

Para ficar mais concreto: nos pontos chamados antinodos temos \sin(24\pi x)=\pm1 e a amplitude local é 0,024\\ \mathrm{m}. Nos nós temos \sin(24\pi x)=0 e a amplitude local é 0. Em unidades menores, 0,024\\ \mathrm{m}=24\\ \mathrm{mm}.

Resposta

0,024\\ \mathrm{m} = 24\\ \mathrm{mm}

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