Questīo 4. Considere a regiño fechada delimitada pelas curvas y=-x^{2}+2, y=-x e x=0, contida no semiplano x>0. O volume do sólido de revoluçāo resultante da rotaçāo desta figura ao redor do eixo dos y é igual a:
(1) 8 \pi / 3
(\16 \pi / 3)
(b) 5 \pi / 3
(c) 12 \pi / 5
(d) 24 \pi / 5

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região fechada delimitada por y=-x^{2}+2, y=-x e x=0, contida no semiplano x>0, em torno do eixo dos y.\n
Informações dadas:
  • As curvas que limitam a região são y=-x^{2}+2, y=-x e x=0.
  • A região a considerar é a parte com x\ge 0 (o semiplano x>0 e o limite x=0 como fronteira).
  • O eixo de rotação é o eixo dos y.\n
    O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido de revolução resultante dessa rotação.

Passo 2

Determinar o intervalo em x sobre o qual a região existe (ou seja, encontrar a interseção entre as curvas para x\ge 0).\n
As interseções entre y=-x^{2}+2 e y=-x são soluções de
-x^{2}+2 = -x.
Rearranjando:
-x^{2}+x+2 = 0.
Multiplicando por -1:
x^{2}-x-2=0.
Fatorando:
(x-2)(x+1)=0.
Portanto as raízes são x=2 e x=-1. Como consideramos a parte com x\ge 0, a interseção relevante é x=2. A outra fronteira vertical dada é x=0. Logo a região em x vai de x=0 até x=2.

Passo 3

Escolha do método de cálculo do volume e explicação didática.\n
Vou usar o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros), porque:
  • A rotação é em torno do eixo dos y e a região é naturalmente descrita por fatias verticais (variando x de 0 a 2).
  • Esse método costuma ser direto quando se integra em x com rotação em torno de eixo vertical.\n
    Fórmula do método das cascas cilíndricas (explicação):
  • Corte a região com uma fatia vertical de espessura dx em abscissa x.
  • Ao girar essa fatia em torno do eixo y ela gera uma casca cilíndrica de raio x, altura igual à diferença entre as curvas superior e inferior, e espessura dx.
  • A área lateral aproximada dessa casca é 2\pi \times (\text{raio}) \times (\text{altura}).
  • Assim, o volume de uma casca elemental é dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dx.\n
    Aqui:
  • \text{raio} = x (distância da fatia ao eixo y),
  • \text{altura} = y_{\text{topo}} - y_{\text{fundo}} = (-x^{2}+2) - (-x) = -x^{2}+x+2,
  • dx é a espessura da fatia.\n
    Portanto a integral do volume será
V = \int_{x=0}^{x=2} 2\pi \, x \bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx.

Passo 4

Montar e simplificar a integral explicitamente.\n
Escrevendo o integrando:
2\pi \, x \bigl(-x^{2}+x+2\bigr) = 2\pi\bigl(-x^{3}+x^{2}+2x\bigr).
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{2} \bigl(-x^{3}+x^{2}+2x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo e aplicar o teorema fundamental do cálculo.\n
Antiderivadas:
  • \displaystyle \int -x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4},
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3},
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^{2}.\n
    Somando:
\int \bigl(-x^{3}+x^{2}+2x\bigr)\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2} + C.
Multiplicando por 2\pi e avaliando de 0 a 2:
V = 2\pi\left[-\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}\right]_{0}^{2}.

Passo 6

Avaliar a expressão no extremo x=2 e subtrair o valor em x=0.\n
Calcule dentro dos colchetes em x=2:
-\dfrac{(2)^{4}}{4}+\dfrac{(2)^{3}}{3}+(2)^{2} = -\dfrac{16}{4}+\dfrac{8}{3}+4.
Simplificando:
-\dfrac{16}{4} = -4,\quad 4 + (-4) = 0,
então sobra
0 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{8}{3}.
O termo em x=0 é zero. Portanto
V = 2\pi \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{16\pi}{3}

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