Questīo 4. Considere a regiño fechada delimitada pelas curvas
e
, contida no semiplano
. O volume do sólido de revoluçāo resultante da rotaçāo desta figura ao redor do eixo dos
é igual a:
(1)
(\16 \pi / 3)
(b)
(c)
(d)
(1)
(\16 \pi / 3)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região fechada delimitada por
,
e
, contida no semiplano
, em torno do eixo dos
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- As curvas que limitam a região são
, e . - A região a considerar é a parte com
(o semiplano e o limite como fronteira). - O eixo de rotação é o eixo dos
.\n
O que se pede: - Calcular o volume do sólido de revolução resultante dessa rotação.
Passo 2
Determinar o intervalo em
sobre o qual a região existe (ou seja, encontrar a interseção entre as curvas para
).\n
As interseções entre e
são soluções de
As interseções entre
Rearranjando:
Multiplicando por
:
Fatorando:
Portanto as raízes são
e
. Como consideramos a parte com
, a interseção relevante é
. A outra fronteira vertical dada é
. Logo a região em
vai de
até
.
Passo 3
Escolha do método de cálculo do volume e explicação didática.\n
Vou usar o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros), porque:
Vou usar o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros), porque:
- A rotação é em torno do eixo dos
e a região é naturalmente descrita por fatias verticais (variando de a ). - Esse método costuma ser direto quando se integra em
com rotação em torno de eixo vertical.\n
Fórmula do método das cascas cilíndricas (explicação): - Corte a região com uma fatia vertical de espessura
em abscissa . - Ao girar essa fatia em torno do eixo
ela gera uma casca cilíndrica de raio , altura igual à diferença entre as curvas superior e inferior, e espessura . - A área lateral aproximada dessa casca é
. - Assim, o volume de uma casca elemental é
.\n
Aqui: -
(distância da fatia ao eixo ), -
, -
é a espessura da fatia.\n
Portanto a integral do volume será
Passo 4
Montar e simplificar a integral explicitamente.\n
Escrevendo o integrando:
Escrevendo o integrando:
Logo
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo e aplicar o teorema fundamental do cálculo.\n
Antiderivadas:
Antiderivadas:
-
, -
, -
.\n
Somando:
Multiplicando por
e avaliando de
a
:
Passo 6
Avaliar a expressão no extremo
e subtrair o valor em
.\n
Calcule dentro dos colchetes em :
Calcule dentro dos colchetes em
Simplificando:
então sobra
O termo em
é zero. Portanto