Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=\tan x, x=0 e y=1

Passo 1

O enunciado pede: "Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas y=\tan x, x=0 e y=1".
Informações dadas e observações iniciais:
  • Há três curvas que limitam a região: a função y=\tan x, a reta vertical x=0 e a reta horizontal y=1.
  • Precisamos encontrar a área do conjunto de pontos que está fechado por essas três curvas.
  • Não há figura fornecida, então vamos raciocinar sobre onde essas curvas se cruzam e qual é a região fechada entre elas.

Passo 2

Identificar os pontos de interseção relevantes e o intervalo de integração:
  • A interseção entre y=\tan x e y=1 satisfaz \tan x = 1. As soluções são x=\arctan(1)=\pi/4 mais possíveis k\pi, mas a primeira positiva no intervalo principal é x=\pi/4.
  • A reta vertical x=0 é dada explicitamente como uma fronteira. Avaliando \tan em x=0 obtemos \tan 0 = 0, então em x=0 a curva y=\tan x está em y=0, abaixo de y=1.
  • Entre x=0 e x=\pi/4 a função \tan x é crescente (no intervalo (-\pi/2,\pi/2)) e varia de 0 até 1. Logo, a região limitada é a área entre as curvas para x de 0 até \pi/4, com a curva superior sendo y=1 e a inferior sendo y=\tan x.

Passo 3

Montar a integral que calcula a área usando fatias verticais (método das integrais):
  • Para uma fatia vertical de largura infinitesimal dx em abscissa x, a altura da fatia é \text{(topo)}-\text{(fundo)} = 1 - \tan x.
  • Portanto a área A é
A = \int_{x=0}^{\pi/4} \bigl(1 - \tan x\bigr)\,dx.
Essa é a expressão que vamos calcular.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo, explicando as fórmulas usadas:
  • Separe a integral:
\int_{0}^{\pi/4} \bigl(1 - \tan x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/4} 1\,dx - \int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx.
  • A primeira integral é simples:
\int_{0}^{\pi/4} 1\,dx = \Bigl[x\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4}.
  • Para a segunda, usamos a primitiva de \tan x. Lembre que \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Fazendo a substituição u=\cos x temos du = -\sin x\,dx, então
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C.
Essa é uma primitiva padrão bem útil.
  • Assim
\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = \Bigl[-\ln|\cos x|\Bigr]_{0}^{\pi/4} = -\ln\bigl|\cos(\pi/4)\bigr| - \bigl(-\ln\bigl|\cos 0\bigr|\bigr).
  • Calcule os cossenos: \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos 0 = 1. Então
-\ln\bigl|\cos(\pi/4)\bigr| + \ln\bigl|\cos 0\bigr| = -\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \ln 1 = -\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 0.
  • Observe que \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-1/2}, então \ln\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\tfrac{1}{2}\ln 2. Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = -\left(-\tfrac{1}{2}\ln 2\right) = \tfrac{1}{2}\ln 2.
  • Juntando as duas integrais:
A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2.
  • Para ter uma ideia numérica: \dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}7854 e \tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0{,}3466, então A\approx 0{,}4388. Mas na prova prefira a forma exata.

Passo 5

Resumo didático rápido para você aplicar na prova:
  • Identifique quais curvas são topo e fundo no intervalo onde elas se cruzam.
  • Ache os pontos de interseção para determinar os limites da integração.
  • Use integral de \text{topo} - \text{fundo} com slices verticais (dx) ou horizontais (dy) conforme for mais simples.
  • Lembre a primitiva \displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C e saiba derivá-la com a substituição u=\cos x.
  • Sempre confira sinais e valores de cosseno/seno em ângulos notáveis para simplificar logaritmos.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2

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