Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
O enunciado pede: "Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas
,
e
".
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- Há três curvas que limitam a região: a função
, a reta vertical e a reta horizontal . - Precisamos encontrar a área do conjunto de pontos que está fechado por essas três curvas.
- Não há figura fornecida, então vamos raciocinar sobre onde essas curvas se cruzam e qual é a região fechada entre elas.
Passo 2
Identificar os pontos de interseção relevantes e o intervalo de integração:
- A interseção entre
e satisfaz . As soluções são mais possíveis , mas a primeira positiva no intervalo principal é . - A reta vertical
é dada explicitamente como uma fronteira. Avaliando em obtemos , então em a curva está em , abaixo de . - Entre
e a função é crescente (no intervalo ) e varia de até . Logo, a região limitada é a área entre as curvas para de até , com a curva superior sendo e a inferior sendo .
Passo 3
Montar a integral que calcula a área usando fatias verticais (método das integrais):
- Para uma fatia vertical de largura infinitesimal
em abscissa , a altura da fatia é . - Portanto a área
é
Essa é a expressão que vamos calcular.
Passo 4
Calcular a integral passo a passo, explicando as fórmulas usadas:
- Separe a integral:
- A primeira integral é simples:
- Para a segunda, usamos a primitiva de
. Lembre que . Fazendo a substituição temos , então
Essa é uma primitiva padrão bem útil.
- Assim
- Calcule os cossenos:
e . Então
- Observe que
, então . Portanto
- Juntando as duas integrais:
- Para ter uma ideia numérica:
e , então . Mas na prova prefira a forma exata.
Passo 5
Resumo didático rápido para você aplicar na prova:
- Identifique quais curvas são topo e fundo no intervalo onde elas se cruzam.
- Ache os pontos de interseção para determinar os limites da integração.
- Use integral de
com slices verticais (dx) ou horizontais (dy) conforme for mais simples. - Lembre a primitiva
e saiba derivá-la com a substituição . - Sempre confira sinais e valores de cosseno/seno em ângulos notáveis para simplificar logaritmos.